形式陈述

集合 $A$$A$ 与 $B$$B$ 的笛卡尔积为

$$ A\times B=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\}. $$$$A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}.$$

更一般的有限积由元组组成；指标集 $I$$I$ 上的积可视为所有满足 $f(i)\in A_i$$f(i)\in A_i$ 的选择函数。

直觉

笛卡尔积枚举来自不同坐标轴的全部组合。它不是并集：一个元素同时记录来自 $A$$A$ 和 $B$$B$ 的分量及其位置。

例子与边界

若 $A=\{1,2\}$$A=\{1,2\}$、$B=\{x,y\}$$B=\{x,y\}$，则 $A\times B$$A\times B$ 有四个有序对。任一因子为空时积为空。通常 $A\times B\ne B\times A$$A\times B\ne B\times A$，但交换坐标给出自然双射。

推论与应用

平面 $\mathbb R^2$${\mathbb{R}}^2$、状态—动作空间、数据库关系模式和二元关系的载体都是笛卡尔积。函数也是定义域与陪域笛卡尔积中的特殊子集。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §6。
• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, §1.2。