形式陈述

设 $A,B$ 为集合。部分函数 $f:A\rightharpoonup B$ 由定义域 $\mathrm{dom}(f)\subseteq A$ 与一个普通函数 $\mathrm{dom}(f)\to B$ 构成；等价地，其图 $G_f\subseteq A\times B$ 满足每个 $a\in A$ 至多对应一个 $b\in B$。当 $\mathrm{dom}(f)=A$ 时它就是全函数。若 $f:A\rightharpoonup B$、$g:B\rightharpoonup C$，则 $g\circ f$ 只在那些 $a\in \mathrm{dom}(f)$ 且 $f(a)\in \mathrm{dom}(g)$ 的点上有定义。

直觉

部分函数把“没有返回值”建模为函数本身未定义，而不是额外发明一个普通值。它特别适合描述可能不终止的程序、只接受部分输入的解析器以及未必存在的代数运算。

例子与边界

实数上的 $x\mapsto 1/x$ 可视为 $\mathbb{R}\rightharpoonup \mathbb{R}$，定义域为 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$。数组查找也可建模为从键到元素的部分函数。部分函数仍必须满足单值性；同一输入允许两个输出的是关系而非部分函数。把未定义统一编码为 $\mathrm{\perp }$ 可得到 $A\to B\cup \{\mathrm{\perp }\}$，但只有在 $\mathrm{\perp }$ 不与合法输出混淆并保留相应语义时才等价。

推论与应用

部分函数连接函数论、可计算性与程序语义：部分可计算函数用“发散”表示未定义，偏代数用它表达只在满足前提时存在的运算，数据库与 API 规范也常借此区分缺失、失败和正常值。

参考资料

• Michael Sipser, Introduction to the Theory of Computation, 3rd ed., Cengage, 2013，Chs. 0–10。
• John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation, 3rd ed., Pearson, 2006，Chs. 1–9。