形式陈述

给定拓扑空间族 $(X_i)_{i\in I}$$(X_i{)}_{i\in I}$，其笛卡尔积 $X=\prod_{i\in I}X_i$$X=\prod _{i\in I}{X}_i$ 上的积拓扑，是使所有坐标投影 $\pi_i:X\to X_i$${\pi }_i:X\to X_i$ 连续的最粗拓扑。一个标准基由集合

$$ \prod_{i\in I}U_i $$$$\prod _{i\in I}{U}_i$$

组成，其中每个 $U_i$$U_i$ 在 $X_i$$X_i$ 中开，且除有限多个 $i$$i$ 外都有 $U_i=X_i$$U_i=X_i$。有限积时，这就是所有 $U_1\times\cdots\times U_n$$U_1\times \cdots \times U_n$ 所成的基。积拓扑满足泛性质：$f:Y\to X$$f:Y\to X$ 连续，当且仅当每个 $\pi_i\circ f$${\pi }_i\circ f$ 连续。

直觉

只用有限多个坐标来规定邻域，其余坐标保持自由；这样恰好加入让每个坐标观察都连续所必需的开集，而不额外增加信息。

例子与边界

$\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 的通常拓扑等于 $n$$n$ 个实数直线的积拓扑。无限积 $\mathbb R^{\mathbb N}$${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ 中，限制前若干坐标的“柱集”是基本开集；同时限制每个坐标的开区间通常属于箱拓扑而不一定属于积拓扑。积拓扑与箱拓扑在有限指标集上相同，在无限指标集上通常不同。

推论与应用

积拓扑用于函数序列的逐点收敛、参数空间、无限坐标系统和 Tychonoff 定理。其泛性质让到积空间的连续性可逐坐标验证，是范畴积在拓扑空间中的具体实现。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§19, product topology on arbitrary products。
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011，Ch. 3, products and the universal property。