积拓扑 | Codeboy's Blog

形式陈述

给定拓扑空间族 $(X_i)_{i\in I}$ ，其底层集合是笛卡尔积

X=\prod_{i\in I}X_i.

对每个 $i$ ，坐标投影为 $\pi_i:X\to X_i$ ， $\pi_i((x_j)_{j\in I})=x_i$ 。积拓扑定义为使全部 $\pi_i$ 连续的最粗拓扑。

投影连续要求每个柱集 $\pi_i^{-1}(U_i)$ 开，其中 $U_i\subseteq X_i$ 开。对互不相同的指标 $i_1,\ldots,i_n$ ，把有限多个柱集相交，得到标准基元素

\bigcap_{k=1}^{n}\pi_{i_k}^{-1}(U_{i_k}) = \prod_{i\in I}V_i,

其中 $V_{i_k}=U_{i_k}$ ，而除有限多个坐标外 $V_i=X_i$ 。这说明“最粗”与“只限制有限多个坐标”是同一构造的两种表述。

有限积 $X_1\times\cdots\times X_n$ 的标准基就是所有

U_1\times\cdots\times U_n, \qquad U_i\subseteq X_i\text{ 开}.

无限积中，形如 $\prod_iU_i$ 且每个 $U_i$ 都开的集合未必在积拓扑中开；只有当非平凡限制至多有限个时，它才自动是基本开集。

积拓扑的泛性质把拓扑连续性化为坐标条件：对任意拓扑空间 $Y$ 与映射 $f:Y\to X$ ，

f\text{ 连续} \quad\Longleftrightarrow\quad \pi_i\circ f:Y\to X_i\text{ 对每个 }i\text{ 连续}.

正向来自投影连续；反向只需把每个基本柱集的逆像写成有限个坐标逆像的交。这一结论把映入积空间的连续性完全拆成逐坐标检验。

直觉

积空间中的一点同时保存所有坐标，但一次局部观察只能提出有限多个坐标条件。未被观察的坐标保持自由，这使得无穷积仍能由有限信息逐步逼近。

最粗性保证投影连续所必需的开集全部存在，同时没有凭空添加更强的联合约束。若把每个坐标都同时缩小，便得到箱拓扑；它记录的是另一种更严格的邻近关系。

积与商拓扑的箭头方向相反。积拓扑由从积空间到各因子的投影决定，并负责检验“映入积”；商拓扑由从原空间到商集的满射决定，并负责检验“从商出发”。

例子与边界

$\mathbb R^n$ 的通常拓扑等于 $n$ 条实线的积拓扑。Euclidean 开球可在每点内外用开盒局部细化，所以球基与矩形基生成同一拓扑；两类基本邻域形状不同，开放集合族却相同。

在 $\mathbb R^{\mathbb N}$ 中，集合

(-1,1)\times(-1/2,1/2)\times\mathbb R\times\mathbb R\times\cdots

是基本开集。相反，

\prod_{n\ge1}(-1/n,1/n)

在箱拓扑中开，在积拓扑中不开放：任何积基本邻域都放任某个后续坐标自由，因而不可能完全装入该集合。

积拓扑中的网收敛恰等价于逐坐标收敛。对序列 $x^{(m)}\in\mathbb R^{\mathbb N}$ ，每个固定坐标 $x^{(m)}_n$ 收敛就足够；不需要

\sup_n|x^{(m)}_n-x_n|\to0.

后者描述一致型拓扑，强于逐点的积拓扑。

可数个度量空间的积可以显式度量化。例如选各因子度量 $d_n$ ，则

D(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}\min\{1,d_n(x_n,y_n)\}

生成积拓扑。任意不可数积即使每个因子都可度量，也未必可度量；局部需要控制的坐标数与可数性条件会成为障碍。

空因子会使整个积为空。讨论投影满射、从乘积性质反推因子性质或选择固定基点的切片时，必须假定其他因子非空；否则这些看似自然的论证没有可选坐标。

推论与应用

任意积的 Hausdorff 性可逐因子传递：若每个 $X_i$ Hausdorff，两点在某个坐标不同，该坐标的不交邻域拉回后便分离两点。反向在其余因子非空时，把一个因子嵌入为固定其余坐标的子空间即可。

连通空间的任意非空乘积仍连通。证明可先固定基点 $a=(a_i)$ ：只改变有限多个坐标的点组成若干有限积切片，这些切片都连通且共同含 $a$ ；它们的并连通，并且在积拓扑中稠密，故其闭包即整个乘积也连通。

有限个紧空间的积可用管状引理或开覆盖归纳证明。任意指标集的结论是Tychonoff 定理，其一般形式涉及选择公理。关键限定是积拓扑；无限离散二点空间的箱拓扑本身离散，因而不紧。

积拓扑还组织多变量映射。对 $f:Z\to X\times Y$ ，只需分别研究两个坐标函数；对 $g:X\times Y\to Z$ ，逐变量连续一般不推出联合连续，因为这里的定义域已经是积空间，必须控制两个变量同时变化。

参考资料

James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000, §§19, 37.
John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011, Chapter 3.
John L. Kelley, General Topology, Springer, 1955, Chapters 3 and 5.