形变收缩

形变收缩不仅说子空间与原空间同伦等价，还要求用一段连续运动把整个空间压到子空间，并在运动全过程中固定子空间每一点。这个“相对固定”条件让包含映射与收缩映射之间的关系非常具体。它保留同伦型，却会丢掉长度、面积和局部几何。

穿孔平面形变收缩到单位圆。闭圆盘不能形变收缩到边界圆，否则它们会具有相同基本群；普通收缩也不自动给出形变收缩。

圆柱 $S^1\times [0,1]$ 可强形变收缩到中间圆 $S^1\times \{1/2\}$，例如

中间圆上的点在整个变形中保持不动。Möbius 带也可收缩到核心圆，但其邻域粘合带有扭转；形变收缩保存同伦型，并不会保存可定向性或边界结构等更精细的流形信息。

同伦公理库同伦Homotopy在连续参数下把一个连续映射变形成另一个连续映射。若把恒等映射变到落入子空间的 retraction，且全程固定子空间，就得到形变收缩；它立即给同伦等价公理库同伦等价Homotopy equivalence存在互为同伦逆的连续映射时，两个空间具有相同的同伦类型。。因此基本群公理库基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。与同调公理库奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。可在更小的骨架上计算。CW 复形中的自由面塌缩、配置空间简化和几何对象骨架提取都依靠可显式写出的形变。