形式陈述

若 $A\subseteq X$，存在收缩 $r:X\to A$ 与同伦 $H:X\times I\to X$，满足

$$H(x,0)=x,H(x,1)=r(x),$$

并且对所有 $a\in A$、$t\in I$ 有 $H(a,t)=a$，则 $A$ 是 $X$ 的强形变收缩。于是包含 $A\hookrightarrow X$ 是同伦等价。

直觉

不仅最终把空间压到子空间，还要求子空间中的点在整个变形过程中保持不动。

例子与边界

穿孔平面形变收缩到单位圆。闭圆盘不能形变收缩到边界圆，否则它们会具有相同基本群；普通收缩也不自动给出形变收缩。

推论与应用

它是简化空间并计算基本群、同调与同伦类型的最常用工具之一。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology (2002), deformation retracts.
• J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), retracts and homotopy.