形变收缩

把 $X$ 中每个点看成随时间运动的小点。开始时它们位于原处，结束时全部进入 $A$，而已经在 $A$ 上的点始终不动。不同点可以逐渐汇合，所以中间时刻的映射不必是单射，更不必是同胚。

这个固定条件使 $A$ 成为始终保留的核心。形变收缩保存绕洞方式等同伦信息，却可以压掉一个维度，改变长度、面积、边界和局部几何。因此“能缩到同一个核心”表达的是同伦型相同，不是两个空间在所有几何意义下相同。

图中左侧是圆柱带展开后的示意，矩形左右两边需按同方向标记、在相同高度粘合；竖直箭头表示沿纤维移动，绿色中线对应固定的核心圆。未粘合的普通矩形可以缩到线段，但不能仅凭画法把线段当成圆。

圆柱带：把竖直坐标压到中间 ​

令 $X=S^1\times [0,1]$，$A=S^1\times \{1/2\}$，定义

圆周坐标 $z$ 不变，竖直坐标从 $s$ 匀速移到 $1/2$。当 $t=0$ 时是原点，当 $t=1$ 时落在核心圆；若原本 $s=1/2$，新坐标始终还是 $1/2$。公式也直接给出联合连续性，因而逐项满足定义。

Möbius 带同样可沿短纤维压到核心圆。用 $[0,1]\times [-1,1]$ 上的商关系 $(0,s)\sim (1,-s)$ 表示它，形变 $[u,s]\mapsto [u,(1-t)s]$ 与粘合相容，并全过程固定 $s=0$。于是圆柱带、Möbius 带和圆具有相同同伦型，但前两者并不同胚：圆柱带可定向且有两个边界分支，Möbius 带不可定向且只有一个。

穿孔平面：沿半径移向单位圆 ​

在 $X={\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 中，取 $A=S^1$，令

由于 $x\ne 0$，表达式在整个定义域内连续；括号中的系数始终为正，所以运动过程中不会经过被挖去的原点。终点是 $x/\Vert x\Vert$，而单位圆上的点满足 $\Vert x\Vert =1$，因此全过程固定。

穿孔条件正是公式成立的关键。把原点补回去后，径向归一化在原点没有定义，也不能靠随手补一个值变为连续映射。不过，这只说明该公式失败；要排除所有可能的收缩，还需要下面的基本群论证。

普通收缩不等于形变收缩 ​

取离散两点空间 $X=\{0,1\}$、子空间 $A=\{0\}$。常值映射 $r(x)=0$ 连续，并且在 $A$ 上为恒等，所以它是普通收缩映射。

但不存在从 ${\mathrm{id}}_X$ 到 $i\circ r$ 的同伦。否则 $t\mapsto H(1,t)$ 是从连通区间 $[0,1]$ 到离散两点空间的一条连续路径，必须为常值，却又要从 $1$ 走到 $0$。因此仅有终点映射，不保证存在连续运动过程。

连通空间中也有这种差别：把 $S^1$ 常值映到一个指定点是普通收缩；若还能形变收缩到该点，圆就会同伦等价于点，与其非平凡基本群矛盾。

为什么闭圆盘不能收缩到边界圆 ​

更强的结论是：闭圆盘 $D^2$ 到其边界 $S^1$ 连普通收缩映射都不存在。假设有 $r:D^2\to S^1$，满足 $r\circ i={\mathrm{id}}_{S^1}$，在边界选定基点后，诱导的基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。同态应满足

然而 ${\pi }_1(D^2)=0$，所以这个复合必须为零；${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ 的恒等同态却不为零，矛盾。圆盘填上了圆围住的洞，不能在固定边界的同时把填充连续撤掉。

定义已经给出

因此 $i$ 与 $r$ 互为同伦逆，$A$ 与 $X$ 同伦等价理路同伦等价Homotopy equivalence存在互为同伦逆的连续映射时，两个空间具有相同的同伦类型。。形变收缩要求指定的子空间和包含映射参与这一关系；一般同伦等价只要求存在一对合适的映射，没有预先指定谁必须嵌在谁里面。

于是奇异同调理路奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。以及在 $A$ 中选定基点后的基本群，都可以转到较小的空间计算。例如穿孔平面的绕洞信息由单位圆完整保留。计算的依据是已验证的形变，而不是外观上“似乎只剩一条线”。上面的穿孔平面径向形变实际还是光滑的；de Rham 上同调理路de Rham 上同调de Rham cohomology · 德拉姆上同调将闭形式模去恰当形式，并用周期积分计算局部原形式无法全局粘合的障碍。页将这一光滑性用于形式同伦公式，证明其拉回在上同调上互逆，得到 $H_{\mathrm{dR}}^1({\mathbb{R}}^2\setminus \{0\})\cong \mathbb{R}$。

分阶段收缩的拼接公式 ​

若 $X$ 强形变收缩到 $A$，形变为 $H$、最终收缩为 $r:X\to A$；而 $A$ 强形变收缩到 $B$，形变为 $K:A\times I\to A$，则定义

两段都取值于 $X$，接缝处都等于 $i(r(x))$，因此可连续粘贴；$B\subseteq A$ 上的点在两段都固定。于是得到 $X$ 到 $B$ 的强形变收缩，使经过验证的局部简化能够逐步组合。

有限单纯复形上的合法自由面塌缩是这类简化的典型来源；任意删除单形、任意提取“骨架”则不自动保持同伦型。每一步都应给出形变或适用的塌缩定理。