形式陈述

对连续映射 $f,g:X\to Y$$f,g:X\to Y$，若存在连续映射

$$ H:X\times[0,1]\to Y $$$$H:X\times [0,1]\to Y$$

满足 $H(x,0)=f(x)$$H(x,0)=f(x)$、$H(x,1)=g(x)$$H(x,1)=g(x)$，则称 $f$$f$ 与 $g$$g$ 同伦，记作 $f\simeq g$$f\simeq g$。若对某个子空间 $A\subseteq X$$A\subseteq X$ 还要求 $H(a,t)=f(a)=g(a)$$H(a,t)=f(a)=g(a)$，则称相对 $A$$A$ 同伦。路径同伦是 $X=[0,1]$$X=[0,1]$ 且两个端点在整个变形中固定的情形。同伦关系是映射集上的等价关系，并与映射复合相容。

直觉

同伦把一张连续映射看作能随时间连续变形成另一张映射，而不允许跳跃、撕裂或违反指定的固定边界。

例子与边界

在凸集 $Y\subseteq\mathbb R^n$$Y\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 中，任意两个映射 $f,g:X\to Y$$f,g:X\to Y$ 可用直线同伦 $H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$$H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$ 连接。恒等映射与常值映射同伦的空间称可缩。圆上的恒等映射不能与常值映射同伦。普通同伦不要求每个中间映射是同胚，因此比“连续形变且始终可逆”弱得多。

推论与应用

同伦把空间按粗粒度连续结构分类，导出同伦等价、基本群与高阶同伦群。构造显式同伦可证明两个映射诱导相同的代数不变量，或证明一个空间可缩。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 0 and §1.1, homotopy of maps and paths。
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011，Ch. 6, homotopies and homotopy equivalence。