同伦

同伦把“两个映射相同”放宽为“可在所有点上同步连续地从一个变到另一个”。参数 $t$ 不是逐点随意选择的，而要让整个 $X\times I$ 上的变形连续，因此不能跨越目标空间中的洞或离散障碍。是否固定基点、端点或子空间会改变等价关系，必须在问题中明确。

在凸集 $Y\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 中，任意两个映射 $f,g:X\to Y$ 可用直线同伦 $H(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)$ 连接。恒等映射与常值映射同伦的空间称可缩。圆上的恒等映射不能与常值映射同伦。普通同伦不要求每个中间映射是同胚，因此比“连续形变且始终可逆”弱得多。

圆周上的映射 $z\mapsto z^m$ 与 $z\mapsto z^n$ 在 $m\ne n$ 时不同伦，因为它们诱导的绕数不同。对路径还要区分自由同伦与端点固定同伦：前者允许两个端点在变形中移动，基本群采用的后者则始终固定端点，因而给出更细的等价关系。

积空间公理库积拓扑Product topology在笛卡尔积上由有限坐标条件生成、并使所有坐标投影连续的最粗拓扑。上的连续映射公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。定义同伦，进而形成同伦等价公理库同伦等价Homotopy equivalence存在互为同伦逆的连续映射时，两个空间具有相同的同伦类型。。固定端点的回路同伦给基本群公理库基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。，同调不变性公理库同调的同伦不变性Homotopy invariance of homology同伦等价空间具有同构的奇异同调群。说明同伦映射诱导同一代数作用。提升、形变收缩和不动点指数都以不同的相对同伦条件为基础。