覆叠提升性质

覆叠投影在小邻域上可逆，所以给定起点后，底空间路径可一段段唯一搬到某一层；每次进入下一个均匀覆盖邻域时，连续性迫使提升留在当前相接的那张 sheet。回路提升的终点可能不同于起点，这个偏移正记录回路对纤维的 monodromy。二维同伦也能整体提升，保证同伦的端点信息可控。

圆周路径 $\gamma (t)=e^{2\pi int}$ 从实线起点 $0$ 提升为 $\tilde{\gamma }(t)=nt$，终点整数记录绕数。闭路的提升未必闭合；它闭合当且仅当相应基本群元素落入覆叠诱导子群。起点不指定时可有多条提升。路径连通不是路径提升定理本身的假设；它主要用于比较纤维和分类连通覆叠。一般连续满射不具有唯一提升，分支点处尤其会失败。

对二层覆叠 $p:S^1\to S^1$、$p(z)=z^2$，底空间回路 $\gamma (t)=e^{2\pi it}$ 从上层点 $1$ 出发的唯一提升是

它在 $t=1$ 到达 $-1$，并不闭合；底空间绕两周时提升才回到 $1$。这把“闭路能否闭合提升”具体化为基本群元素是否落入覆叠所对应子群。

覆叠空间公理库覆叠空间Covering space连续满射在底空间每一点邻域上分解为若干互不相交的同胚片。的局部同胚结构给出路径与同伦公理库同伦Homotopy在连续参数下把一个连续映射变形成另一个连续映射。提升，道路连通公理库道路连通空间Path-connected space任意两点可由从单位区间出发的连续路径连接。让提升从一个起点传播到整条路径。闭提升判据把基本群公理库基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。子群与覆叠对应起来，并可据此计算绕数、证明覆叠诱导的基本群同态单射；覆叠变换公理库覆叠变换Deck transformation · Covering transformation保持覆叠投影不变的总空间自同胚。则由不同提升起点之间的全局对称产生。复分析中的单值解析延拓也是同一提升机制的表现。