形式陈述

设 $p:E\to B$$p:E\to B$ 为覆叠映射。若路径 $\gamma:I\to B$$\gamma :I\to B$ 与起点 $e_0\in E$$e_0\in E$ 满足 $p(e_0)=\gamma(0)$$p(e_0)=\gamma (0)$，则存在唯一提升路径 $\widetilde\gamma:I\to E$$\tilde{\gamma }:I\to E$，使

$$ p\circ\widetilde\gamma=\gamma, \qquad \widetilde\gamma(0)=e_0. $$$$p\circ \tilde{\gamma }=\gamma ,\tilde{\gamma }(0)=e_0.$$

更一般地，若 $F:Y\times I\to B$$F:Y\times I\to B$ 是同伦，且 $F(\cdot,0)$$F(\cdot ,0)$ 已有提升 $\widetilde F_0:Y\to E$${\tilde{F}}_0:Y\to E$，则存在唯一同伦提升 $\widetilde F:Y\times I\to E$$\tilde{F}:Y\times I\to E$ 延拓它。若两个从连通空间到 $E$$E$ 的提升在一点相同，则处处相同。

直觉

底空间路径一旦选定起始“楼层”，每次穿过均匀覆叠邻域时就只能沿唯一片继续，因而整个提升被逐段强制确定。

例子与边界

圆周路径 $\gamma(t)=e^{2\pi int}$$\gamma (t)=e^{2\pi int}$ 从实线起点 $0$$0$ 提升为 $\widetilde\gamma(t)=nt$$\tilde{\gamma }(t)=nt$，终点整数记录绕数。闭路的提升未必闭合；它闭合当且仅当相应基本群元素落入覆叠诱导子群。起点不指定时可有多条提升。路径连通不是路径提升定理本身的假设；它主要用于比较纤维和分类连通覆叠。一般连续满射不具有唯一提升，分支点处尤其会失败。

推论与应用

提升性质定义单值解析延拓、计算绕数、证明基本群注入，并把覆叠分类同基本群子群对应起来。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 1, path lifting and homotopy lifting properties。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. III, lifting theorems for coverings。