覆叠空间

覆叠在每个足够小邻域上看起来像若干互不相交的复制层，每层都由投影同胚地落到底空间。全局绕圈时，路径可能从一层移动到另一层，这种局部平凡、全局扭结的差异承载基本群信息。仅仅是局部同胚还不够：必须能用同一个邻域同时整齐分解整个逆像。

指数映射 $p:\mathbb{R}\to S^1$、$p(t)=e^{2\pi it}$ 是无限层覆叠。取小弧 $U=\{e^{2\pi it}:|t|<1/4\}$，其逆像正是互不相交的区间 $\bigcup _{k\in \mathbb{Z}}(k-1/4,k+1/4)$，每个区间限制都是同胚；这同时验证了整个逆像的分片，而不只是某一点的局部可逆性。

$n\ge 1$ 时，$z\mapsto z^n$ 是 $S^1$ 的 $n$ 层覆叠。覆叠映射必为局部同胚，但满射局部同胚不一定是覆叠，例如 $(0,2)\to S^1$、$t\mapsto e^{2\pi it}$ 在点 $1\in S^1$ 附近无法均匀分成完整片。分支覆叠如 $z\mapsto z^2$ 在复平面原点不是覆叠，因为局部不是同胚。纤维基数只在底空间各连通分支上恒定。

映射

是六层覆叠：每个点有两个平方根和三个立方根，而足够小的乘积邻域的逆像分成六个互不相交的矩形片。沿第一个圆因子绕行一周会交换平方根所在的两层，说明各层虽能局部编号，却未必能在全空间中连续地固定标签。

所有纤维基数相同的覆叠，正是以固定离散空间为纤维的纤维丛理路纤维丛Fiber bundle · Fibre bundle · 局部平凡纤维丛在底空间每点附近都同胚于与固定纤维的乘积，并由重叠坐标记录整体粘合方式的空间。：均匀覆叠邻域给出局部乘积。连通底空间满足这个基数条件；若不同连通分支的层数不同，就不能用同一个模型纤维描述整个覆叠。

局部同胚层理路同胚Homeomorphism自身与逆映射都连续的双射，给出两个拓扑空间之间可逆的开集翻译。构成覆叠，路径与同伦提升理路覆叠提升性质Lifting property for covering spaces路径与同伦在指定起点后可唯一提升到覆叠空间。使底空间的回路可在上层展开。道路连通、局部道路连通且半局部单连通的空间存在万有覆叠；在这些标准条件下，万有覆叠理路万有覆叠Universal covering space总空间单连通的覆叠空间，在标准局部条件下支配所有连通覆叠。把基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。实现为 deck 群。一般覆叠未必正规，其覆叠变换群也未必在每条纤维上传递。分类覆叠由此转化为基本群子群问题，并用于复对数的单值化与 Riemann 曲面构造。

局部分片还能通过绕行形成可复算的全局数据。单值化作用理路覆叠的单值化作用Monodromy action of a covering · Covering monodromy · 覆叠的纤维作用由回路提升定义纤维上的右作用，固定路径拼接与置换复合次序，并用轨道、稳定子和陪集分别识别连通分量、闭提升与覆叠层数。把回路提升的终点记成纤维置换，证明连通分量、轨道和闭提升稳定子的对应；在两个圆的楔和上，Schreier覆叠图理路Schreier 图与自由群覆叠Schreier graph covering · Schreier coset graph · 自由群的陪集覆叠图将自由群的右作用实现为带标签的覆叠多重图，逐顶点验证正反方向局部双射，并由读词终点识别子群、连通性与基点保持的图同构。把置换表重新实现成带标签的边。构造时必须保留每条独立正边，不能把相反方向的两条正边合并。