形式陈述

连续满射 $p:E\to B$$p:E\to B$ 称为覆叠映射，若每个 $b\in B$$b\in B$ 都有开邻域 $U$$U$，使

$$ p^{-1}(U)=\bigsqcup_{\alpha\in A}V_\alpha, $$$$p^{-1}(U)=\underset{\alpha \in A}{⨆}{V}_{\alpha },$$

其中每个 $V_\alpha$$V_{\alpha }$ 在 $E$$E$ 中开，且限制

$$ p|_{V_\alpha}:V_\alpha\to U $$$$p{|}_{V_{\alpha }}:V_{\alpha }\to U$$

为同胚。这样的 $U$$U$ 称均匀覆叠邻域，$V_\alpha$$V_{\alpha }$ 称片。纤维 $p^{-1}(b)$$p^{-1}(b)$ 在局部上具有恒定离散基数；若底空间连通，该基数在所有点相同，称覆叠的层数。

直觉

覆叠空间在每个足够小的底空间窗口上就是若干互不相交的完全复制品；复杂性只来自这些局部复制品绕全局环路重新粘合的方式。

例子与边界

指数映射 $p:\mathbb R\to S^1$$p:\mathbb{R}\to S^1$、$p(t)=e^{2\pi it}$$p(t)=e^{2\pi it}$ 是无限层覆叠；$z\mapsto z^n$$z\mapsto z^n$ 是 $S^1$$S^1$ 的 $n$$n$ 层覆叠。覆叠映射必为局部同胚，但满射局部同胚不一定是覆叠，例如 $(0,2)\to S^1$$(0,2)\to S^1$、$t\mapsto e^{2\pi it}$$t\mapsto e^{2\pi it}$ 在点 $1\in S^1$$1\in S^1$ 附近无法均匀分成完整片。分支覆叠如 $z\mapsto z^2$$z\mapsto z^2$ 在复平面原点不是覆叠，因为局部不是同胚。纤维基数只在底空间各连通分支上恒定。

在指数映射下，每个局部片都同胚地映到圆上的同一个邻域 U。

推论与应用

覆叠把基本群转化为“沿环路置换纤维”的单值化问题，用于分类空间、复对数、Riemann 曲面和同伦提升。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 1, covering spaces and examples。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. III, covering maps and fundamental groups。