局部连通性

“局部”要求在任意小的指定邻域内继续找到连通邻域，不能只找一个大的连通邻域。否则任何连通空间都可用全空间充数，这会失去局部条件真正要控制的细节。

局部连通与全局连通回答不同问题：前者检查放大后是否仍能选取一个连成整体的窗口，后者检查整个空间能否分开。因此它们之间没有不加条件的双向蕴含。

开集分支判据 ​

设 $X$ 局部连通，$C$ 是开集 $O$ 的一个分支。对 $x\in C$，可取连通开集 $x\in U\subseteq O$。由于 $U$ 碰到 $C$，它必包含于 $C$，故 $C$ 是这些 $U$ 的并，因而开。反过来，若开集的分支总开，对每个 $x\in O$ 取 $O$ 中含 $x$ 的分支，就得到了所需连通开邻域。

实线中两个不交开区间的并局部连通但不连通。每一点可以选一个不越过所在区间端点的小区间，其他全局分支不会影响它。欧氏空间与流形更满足局部道路连通，因为坐标中可选凸开球。

有理数空间 $\mathbb{Q}$ 不局部连通。任何含两点的子集都可被夹在两点之间的无理切口分开，故连通子集只有单点；单点又不是开邻域。Cantor 集同样因为分支为非开单点而不局部连通。

拓扑学家的正弦曲线闭包是连通但非局部连通的例子。在极限竖线内部一点附近，先选一个纵向高度小于整个振荡幅度的窗口。窗口里必有趋近竖线的多个振荡图像片段，却不能在该窗口内把这些片段与竖线连成一个开邻域；连通它们需要离开这个窗口。

一般连续满射不保持局部连通。例如从同一个集合的离散拓扑到正弦曲线拓扑的恒等映射连续满射，定义域局部连通而像空间不是。但商映射会保持局部连通，不能把上述反例误称为商映射。

商映射理路商拓扑Quotient topology由满射逆像判据定义的最细拓扑，用来把指定点族连续地粘合为点。 $q:X\to Y$ 保持局部连通，可用分支判据证明。若 $V\subseteq Y$ 开、$C$ 是 $V$ 的分支，则 $q^{-1}(C)$ 是 $q^{-1}(V)$ 中若干分支的并：每个上层分支的连通像只能落入一个下层分支。上层局部连通使这个并开，再由商拓扑推出 $C$ 开。

连通分支理路连通分支Connected component包含给定点的极大连通子集。在局部连通空间中既开又闭。但要保证它与道路分支理路道路连通空间Path-connected space任意两点可由从单位区间出发的连续路径连接。相等，通常使用更强的局部道路连通性。万有覆叠理路万有覆叠Universal covering space总空间单连通的覆叠空间，在标准局部条件下支配所有连通覆叠。的标准存在定理还要求半局部单连通；局部连通本身没有控制回路能否收缩。