形式陈述

拓扑空间 $X$$X$ 称在点 $x$$x$ 局部连通，若 $x$$x$ 的每个邻域 $N$$N$ 都含一个连通开邻域 $U$$U$，满足

$$ x\in U\subseteq N. $$$$x\in U\subseteq N.$$

若每点如此，则称 $X$$X$ 局部连通。等价地，$X$$X$ 有由连通开集组成的拓扑基；又等价于每个开集的每个连通分支都开。局部道路连通以“连通”替换为“道路连通”，它蕴含局部连通但逆命题一般不成立。

直觉

局部连通性要求在任意小尺度上都能找到一整块不被分裂的开邻域；它控制的是微观结构，而不是全空间是否连成一块。

例子与边界

$\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 和流形局部道路连通，因而局部连通。拓扑学家的正弦曲线闭包连通却在极限竖线附近不局部连通，说明全局连通不蕴含局部连通。Cantor 集不是局部连通：其分支为单点但单点不开放。局部连通空间可以有许多全局分支，例如两个不交圆的并。连续像保持连通，却不必保持局部连通；商映射可制造局部病态。

推论与应用

局部连通性保证分支在开集内可见，并使覆叠、基本群和流形论中的局部路径构造更顺畅。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§25, local connectedness。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 4, locally connected spaces。