局部连通性

局部连通要求在每个点、每个邻域内部都能找到更小的连通邻域，因此空间在任意尺度上不会碎成无法连通的细片。它既不要求全空间连通，也不由全局连通推出。一个实用等价条件是每个开集的连通分支都是开集，这让按分支分解不会破坏拓扑局部结构。

${\mathbb{R}}^n$ 和流形局部道路连通，因而局部连通。拓扑学家的正弦曲线闭包连通却在极限竖线附近不局部连通，说明全局连通不蕴含局部连通。Cantor 集不是局部连通：其分支为单点但单点不开放。局部连通空间可以有许多全局分支，例如两个不交圆的并。连续像保持连通，却不必保持局部连通；商映射可制造局部病态。

有理数空间 $\mathbb{Q}$ 在通常子空间拓扑下不局部连通：任何含两个有理数的相对开区间都可被夹在其间的无理数分成两个非空开部分，而单点又不开放。另一方面，两个不交开区间的并虽然不连通，却处处拥有连通小邻域，说明局部连通并不要求全局只有一个分支。

连通邻域公理库连通空间Connected space不能被分成两个不交非空相对开集的空间。构成局部基便得到局部连通性，连通分支公理库连通分支Connected component包含给定点的极大连通子集。因此在开集内也是开集。对局部道路连通空间，分支与道路分支相合；覆叠空间公理库覆叠空间Covering space连续满射在底空间每一点邻域上分解为若干互不相交的同胚片。分类和万有覆叠公理库万有覆叠Universal covering space总空间单连通的覆叠空间，在标准局部条件下支配所有连通覆叠。存在性常要求更强的局部道路连通、半局部单连通条件。