形式陈述

设 $X$$X$ 为拓扑空间，$x\in X$$x\in X$。集合 $N\subseteq X$$N\subseteq X$ 称为 $x$$x$ 的邻域，若存在开集 $U$$U$ 满足

$$ x\in U\subseteq N. $$$$x\in U\subseteq N.$$

若 $N$$N$ 本身开，则称开邻域。点 $x$$x$ 的邻域族记作 $\mathcal N(x)$$\mathcal{N}(x)$，满足：每个邻域含 $x$$x$；有限个邻域的交仍是邻域；邻域的任意超集仍是邻域；并且每个邻域 $N$$N$ 含一个邻域 $M$$M$，使 $N$$N$ 是 $M$$M$ 中每一点的邻域。这些性质也可反过来刻画拓扑。

直觉

邻域描述“围绕某点的一块允许范围”，重点是它内部至少藏着一个包含该点的开集，而不是集合边界长什么样。

例子与边界

在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中，$[-1,1]$$[-1,1]$ 是 $0$$0$ 的邻域但不是开集；它不是端点 $1$$1$ 的邻域。离散拓扑中含 $x$$x$ 的任意集合都是邻域；不可分拓扑中每个点唯一的邻域只有全空间及其超集，也就是全空间。某些教材把“邻域”专指开邻域，本库采用“包含开邻域”的较宽定义，因此使用时应明确。邻域是点相对拓扑的概念，与 Euclidean 球或度量并非同义。

推论与应用

连续性、极限、局部紧性和局部连通性都可完全用邻域表述；邻域系统允许不先列出全部开集而局部描述拓扑。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§13, basis and neighborhood systems。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 2, neighborhoods and local bases。