形式陈述

拓扑空间 $X$$X$ 称第一可数，若每个点 $x\in X$$x\in X$ 都有可数邻域基 $(B_n)_{n\ge1}$$(B_n{)}_{n\ge 1}$：对任意邻域 $N$$N$，存在 $n$$n$ 使

$$ x\in B_n\subseteq N. $$$$x\in B_n\subseteq N.$$

可把它替换为递减邻域基 $C_n=B_1\cap\cdots\cap B_n$$C_n=B_1\cap \cdots \cap B_n$。每个度量空间第一可数，因为半径 $1/n$$1/n$ 的开球构成局部基。在第一可数空间中，$x\in\overline A$$x\in \bar{A}$ 当且仅当存在 $A$$A$ 中序列收敛到 $x$$x$；函数连续当且仅当保持所有序列极限。

直觉

第一可数性表示每个点附近虽然可能有大量邻域，但只需一条可数的“放大镜刻度”就能捕获全部局部信息。

例子与边界

任意度量空间第一可数，但可能不第二可数：不可数离散空间的每个点局部基只有单点，却不存在可数全局基。不可数乘积 $\{0,1\}^I$$\{0,1{\}}^I$ 在积拓扑下通常不第一可数；任何可数候选局部基只限制可数多个坐标，无法控制另一个坐标。第一可数不保证可分、Lindelöf 或可度量。序列刻画闭包虽成立，紧致性与序列紧致性之间仍需额外条件才能完全等价。

推论与应用

第一可数性划定了“序列足够表达局部拓扑”的范围，使分析中的序列证明能安全迁移到非度量空间。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§30, countability axioms。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 5, first countability and sequential criteria。