第一可数空间

第一可数性把一个点周围可能很庞大的邻域族压缩成一列检测尺度。若一个序列最终进入每个 $C_n$，它便最终进入每个邻域，所以逐步选点能够完整探测局部闭包。

条件逐点成立，允许不同点使用不同的可数基。第二可数性理路第二可数空间Second-countable space存在可数拓扑基的拓扑空间。则要求整个空间共享一个可数开基，因而更强。第一可数性也不是给空间偷偷指定距离；有序的局部检测尺度不一定能拼成一个全局度量。

每个度量空间理路度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。都第一可数：$B(x,1/n)$ 细化每个含 $x$ 的开邻域。不可数离散空间中，$\{x\}$ 本身就是 $x$ 的单元素邻域基；但全局基必须包含所有单点，因此不可数。它也不可分、非 Lindelöf，说明这些性质都不由第一可数性保证。

若 $I$ 不可数，取积拓扑理路积拓扑Product topology在笛卡尔积上由有限坐标条件生成、并使所有坐标投影连续的最粗拓扑。的空间 $\{0,1{\}}^I$ 不第一可数，其中每个因子为离散二点空间。假设 $x$ 有可数局部基 $B_n$，在各 $B_n$ 内取基本柱邻域 $C_n$，只限制有限坐标集 $F_n$。并集 $J=\bigcup _n{F}_n$ 可数，取 $i\notin J$；要求第 $i$ 坐标等于 $x_i$ 的开邻域不能包含任何 $C_n$，因为 $C_n$ 完全没有限制此坐标。若某个 $B_n$ 包含于该邻域，其内部的 $C_n$ 也应包含，矛盾。

序数空间 $[0,{\omega }_1]$ 在最大点处也不第一可数。任意可数个尾邻域的左端点上确界仍小于首个不可数序数 ${\omega }_1$，因此它们不能细化所有更短的尾邻域。${\omega }_1$ 属于 $[0,{\omega }_1)$ 的闭包，但这个集合中的任意序列都被某个可数序数界住，不能趋向 ${\omega }_1$。

第一可数空间中，$x\in \bar{A}$ 当且仅当存在 $A$ 中序列 $a_n\to x$。正向取递减局部基 $C_n$，逐项选 $a_n\in A\cap C_n$；给任意邻域 $N$，某个 $C_k\subseteq N$，故所有 $n\ge k$ 的 $a_n$ 都在 $N$。反向不需要第一可数性，由收敛定义即可得到每个邻域与 $A$ 相交。

若定义域 $X$ 第一可数，则 $f:X\to Y$ 连续当且仅当保持所有序列极限理路拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入候选极限的每个邻域时所定义的一般拓扑收敛。，目标 $Y$ 无需第一可数。若 $f$ 在 $x$ 不连续，有 $f(x)$ 的开邻域 $V$，使每个 $C_n$ 都含 $x_n\notin f^{-1}(V)$；于是 $x_n\to x$ 而 $f(x_n)$ 从不进入 $V$，与保持极限矛盾。

第一可数紧致空间必序列紧致，但序列紧致并不反推紧致：$[0,{\omega }_1)$ 是第一可数且序列紧致的非紧空间。前述每个序列的可数上界把它放进某个可度量的紧序数区间；而所有初始开区间构成无有限子覆盖的开覆盖。要把两种紧致性完全等同，度量空间等附加结构才足够。