第一可数空间

第一可数性要求每个点附近有一列邻域足以细化所有邻域，因此序列可以按第 $n$ 步进入第 $n$ 个基本邻域，完整探测该点的局部拓扑。它是逐点条件，不要求全空间共享同一个可数基；后者是更强的第二可数性。缺少第一可数性时，点可位于集合闭包中却没有该集合中的序列收敛到它。

任意度量空间第一可数，但可能不第二可数：不可数离散空间的每个点局部基只有单点，却不存在可数全局基。不可数乘积 $\{0,1{\}}^I$ 在积拓扑下通常不第一可数；任何可数候选局部基只限制可数多个坐标，无法控制另一个坐标。第一可数不保证可分、Lindelöf 或可度量。序列刻画闭包虽成立，紧致性与序列紧致性之间仍需额外条件才能完全等价。

任何度量空间在 $x$ 处都有半径 $1/n$ 的可数邻域基，所以第一可数。序数空间 $[0,{\omega }_1]$ 在点 ${\omega }_1$ 处不是第一可数：任意可数邻域族的左端点上确界仍小于 ${\omega }_1$，无法细化所有尾区间。集合 $[0,{\omega }_1)$ 的闭包含 ${\omega }_1$，却没有其中的序列收敛到 ${\omega }_1$。

邻域公理库邻域Neighborhood包含某个围住指定点的开集，从而表达该点局部信息的集合。若在每点有可数局部基，就得到第一可数空间；度量空间公理库度量空间Metric space用满足正定性、对称性与三角不等式的实值距离刻画点间远近的空间。自动满足。此时拓扑空间中的序列收敛公理库拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入候选极限的每个邻域时所定义的一般拓扑收敛。可刻画闭包与连续性，第二可数性公理库第二可数空间Second-countable space存在可数拓扑基的拓扑空间。则进一步提供全局可数基并常推出可分性。一般拓扑中的网与滤子正是为超越第一可数限制而引入。