形式陈述

集合 $A$$A$ 称为至多可数，若存在单射 $A\hookrightarrow\mathbb N$$A\hookrightarrow \mathbb{N}$；等价地，$A$$A$ 是有限集或存在双射 $A\leftrightarrow\mathbb N$$A\leftrightarrow \mathbb{N}$。本知识库采用常见约定，把“可数”用于“至多可数”，并把后一个无限情形称为可数无限。

对非空集合，$A$$A$ 至多可数还等价于存在满射 $\mathbb N\twoheadrightarrow A$$\mathbb{N}\twoheadrightarrow A$。一个枚举允许重复；若要求每个元素恰出现一次，则得到可数无限集与 $\mathbb N$$\mathbb{N}$ 的双射。

直觉

可数性表示集合的元素能排进一个有限或无限编号表。表可以永远写下去，但每个元素都必须在某个有限编号处出现。

例子与边界

$\mathbb Z$$\mathbb{Z}$ 可数，例如按 $0,1,-1,2,-2,\ldots$$0,1,-1,2,-2,\dots$ 枚举；$\mathbb Q$$\mathbb{Q}$ 也可数，可按分子分母绝对值分层并跳过重复分数。可数集的任意子集仍可数，有限个及可数个可数集的并仍可数，但最后一个结论的具体证明在通常集合论中使用可数选择的相应弱形式或显式枚举。

推论与应用

可数性区分离散可枚举结构与更大的连续基数，并支撑形式语言、可计算对象与概率空间中的求和。证明可数常用显式编码、对角分层或闭包性质；仅说“元素都有有限描述”不足以证明，必须给出可数编码族。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017，§§22–24。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019，Ch. 7。