Löwenheim–Skolem 定理

一个小子集想保留原结构的全部一阶真理，不能只保留原有元素之间的运算关系，还要保留存在性陈述的见证。例如原结构说“某个参数有平方根”，小结构便需要容纳至少一个这样的根。不断为已有参数加入见证，所得闭包仍可保持基数受控，因为公式和有限参数组的数量受语言及当前集合的大小限制。

向上构造则提出许多“彼此不同”的新元素要求。任意有限部分只要求有限多个不同元素，无限原模型总能满足；紧致性把这些有限要求拼成一个模型。再缩小到恰好的基数，才得到完整的精确大小结论。

两个方向的证明机制 ​

向下时，从包含 $A$、大小不超过 $\lambda =max\{|A|,|L|,{\mathrm{\aleph }}_0\}$ 的非空集合 $A_0\subseteq M$ 开始，用选择公理理路选择公理Axiom of choice · AC把任意集合族中逐个存在的元素同时汇成一个选择函数的公理。同时选定所需见证，反复加入函数符号的值以及所有带当前参数且在 $\mathcal{M}$ 中成立的存在公式的一个见证，得到 $A_0\subseteq A_1\subseteq \cdots$。令 $N=\bigcup _{n<\omega }{A}_n$。任意有限参数组都已在某一阶段出现，其见证在下一阶段进入；Tarski–Vaught 判别准则由此给出初等性。若 $\lambda =max\{|A|,|L|,{\mathrm{\aleph }}_0\}$，由无限基数算术理路基数算术Cardinal arithmetic用不交并、笛卡尔积和函数集定义基数的加法、乘法与指数运算。，每步最多加入 $\lambda$ 个元素，可数次迭代仍不超过 $\lambda$。

向上时，在 $T$ 中加入 $\kappa$ 个常元及所有不等式 $c_i\ne c_j$（$i\ne j$）。一阶紧致性定理理路一阶逻辑紧致性定理First-order compactness theorem · Compactness theorem一阶理论可满足，当且仅当它的每个有限子理论都可满足。给出大小至少 $\kappa$ 的模型，再用向下定理保留这些常元的解释，得到恰为 $\kappa$ 的模型。要保留给定 $\mathcal{M}$ 为初等子结构，则应加入它的初等图表，即带有原模型元素命名常元的全部真句子，而不只加入 $T$。

模型内部的“不可数” ​

若 ZFC 存在集合模型，向下定理给出一个外部可数的模型 $\mathcal{M}$。它仍满足“存在不可数集”：模型中的量词只能搜索模型拥有的函数，外部将其元素枚举出来的映射未必属于模型。这是 Skolem 悖论的关键，并非同一个量词范围内同时可数和不可数。这里也不能额外断言所得模型传递，或其成员关系就是外部真实的成员关系。

语言大小界不可省略。给每个实数 $r$ 加一个常元 $c_r$，并在理论中要求所有不同常元不等，任何模型至少有 $|\mathbb{R}|$ 个元素。无限模型假设也必要：规定“恰有两个元素”的句子没有更大模型。二阶逻辑采用完整语义时不受这里的一阶结论约束。

由模型的基数不同可知，有无限模型的一阶理论不可能在所有基数上只有一个同构类型。这不排斥它在某个固定基数上范畴，例如可数模型之间可能全部同构；应区分“同一基数内唯一”与“所有大小都唯一”。

向下定理使可数模型方法成为常用工具，向上定理则提供构造较大模型的起点。它们与紧致性一起支持初等链、饱和模型及模型基数谱的研究，也限定了一阶公理能够唯一刻画无限结构的范围。