形式陈述

向下 Löwenheim–Skolem 定理：若 $\mathcal M$$\mathcal{M}$ 是语言 $L$$L$ 的无限结构，$A\subseteq M$$A\subseteq M$，则存在初等子结构 $\mathcal N\preccurlyeq\mathcal M$$\mathcal{N}\preccurlyeq \mathcal{M}$，包含 $A$$A$ 且

$$ |N|\le\max\{|A|,|L|,\aleph_0\}. $$$$|N|\le max\{|A|,|L|,{\mathrm{\aleph }}_0\}.$$

特别地，可数语言中的无限结构有可数初等子结构。向上形式：若一阶理论 $T$$T$ 有无限模型，则对每个无限基数 $\kappa\ge\max\{|L|,\aleph_0\}$$\kappa \ge max\{|L|,{\mathrm{\aleph }}_0\}$，$T$$T$ 有大小为 $\kappa$$\kappa$ 的模型。证明分别使用 Skolem hull/Tarski–Vaught 与紧致性加入许多不同常元。

直觉

一阶公式一次只涉及有限多个符号和见证，无法强制一个无限模型只存在于唯一无限基数；可以闭合所需见证得到小模型，也可借新常元扩张到大模型。

例子与边界

若 ZFC 有模型，则向下定理给出可数模型；模型内部仍可能认为某集合“不可数”，因为模型中不存在从其自然数到该集合的内部双射，这就是 Skolem 悖论的外部/内部视角差异。定理不说任意指定子结构都是初等的，也不适用于有限模型向任意大小扩张。不可数语言的最小保证包含 $|L|$$|L|$ 项，不能无条件断言可数模型。

推论与应用

定理控制一阶理论的模型基数谱，支持可数模型方法、饱和模型构造和非范畴性分析。它揭示一阶逻辑无法在所有无限基数中唯一刻画标准无限结构。

参考资料

• David Marker, Model Theory: An Introduction, Springer, 2002，§2.1, downward and upward Löwenheim–Skolem theorems。
• Wilfrid Hodges, Model Theory, Cambridge University Press, 1993，Ch. 3, Löwenheim–Skolem and cardinalities of models。