形式陈述

固定语言 $L$$L$，一阶理论可指一组 $L$$L$-句子 $T$$T$；有些文献另要求它对语义后承或句法后承闭合，使用时需声明约定。模型类为

$$ \operatorname{Mod}(T)=\{\mathcal M:\mathcal M\models T\}. $$$$\mathrm{Mod}(T)=\{\mathcal{M}:\mathcal{M}\models T\}.$$

$T$$T$ 一致/可满足若有模型；完备若对每个 $L$$L$-句子 $\varphi$$\phi$，恰有 $T\models\varphi$$T\models \phi$ 或 $T\models\neg\varphi$$T\models \mathrm{\neg }\phi$。结构 $\mathcal M$$\mathcal{M}$ 的完整理论 $\operatorname{Th}(\mathcal M)$$\mathrm{Th}(\mathcal{M})$ 是它满足的全部句子。理论可有限公理化、递归公理化或不可有效给出，这些是额外性质。

直觉

理论是一组对同一类结构提出的句子约束；模型是满足全部约束的世界，理论的语义闭包则收集这些世界共同强制的所有结论。

例子与边界

群理论由群公理组成，有许多非同构模型，因而并不决定每个句子。固定结构 $\mathbb N$$\mathbb{N}$ 的完整理论决定每个算术句子，但其全部真句不可递归枚举。空理论的模型是该语言的所有结构。完备性与“证明系统完备”不同：前者是某个公理理论是否决定每个句子，后者是演算是否捕获所有语义后承。

推论与应用

理论组织代数类、算术和组合结构，模型论研究其模型谱、完备性、消去量词和分类性质。公理化方式还决定自动推理和可判定性。

参考资料

• David Marker, Model Theory: An Introduction, Springer, 2002，§1.2, theories, models, and complete theories。
• Wilfrid Hodges, Model Theory, Cambridge University Press, 1993，Chs. 1–2, theories and elementary classes。