形式陈述

给定一阶语言 $L$$L$，一个 $L$$L$-结构 $\mathcal M$$\mathcal{M}$ 由非空论域 $M$$M$ 以及符号解释组成：每个常元 $c$$c$ 解释为 $c^{\mathcal M}\in M$$c^{\mathcal{M}}\in M$；每个 $n$$n$ 元函数符号 $f$$f$ 解释为全函数 $f^{\mathcal M}:M^n\to M$$f^{\mathcal{M}}:M^n\to M$；每个 $n$$n$ 元关系符号 $R$$R$ 解释为子集 $R^{\mathcal M}\subseteq M^n$$R^{\mathcal{M}}\subseteq M^n$。若等号是逻辑符号，它解释为 $M$$M$ 上真实相等关系。同一语言可有许多不同结构，结构只解释非逻辑符号，不为变量指定值。

直觉

语言给出空的符号接口，结构选择一个对象世界并为每个接口符号填入具体元素、运算和关系。

例子与边界

环语言 $(0,1,+,\cdot)$$(0,1,+,\cdot )$ 可解释为整数环、有限域或矩阵环；它们共享语法但满足不同句子。在图语言中，一个二元关系 $E$$E$ 解释边集。论域通常要求非空；若允许空结构，量词与常元语义需改动。函数符号必须解释为论域内处处定义的全函数，部分函数需另行编码。

推论与应用

结构是模型论的基本对象，使同一理论可比较不同模型。它支撑满足、初等嵌入、子结构、超积及代数结构的一阶公理化。

参考资料

• David Marker, Model Theory: An Introduction, Springer, 2002，§1.1, languages and structures。
• Wilfrid Hodges, Model Theory, Cambridge University Press, 1993，Ch. 1, signatures and first-order structures。