一阶结构

语言给出空的符号接口，结构选择一个对象世界并为每个接口符号填入具体元素、运算和关系。

一阶结构为语言中的每个常元、函数符号和关系符号提供一个具体解释，并指定量词遍历的非空论域。语言只是签名，结构才决定 $+$ 是整数加法、矩阵加法还是别的运算。区分符号与解释，可让同一套公式同时描述许多代数系统。

环语言 $(0,1,+,\cdot )$ 可解释为整数环、有限域或矩阵环；它们共享语法但满足不同句子。在图语言中，一个二元关系 $E$ 解释边集。论域通常要求非空；若允许空结构，量词与常元语义需改动。函数符号必须解释为论域内处处定义的全函数，部分函数需另行编码。

群语言含常元 $e$、二元函数 $\cdot$ 和一元函数 ${}^{-1}$；任意具体群都给出一个结构。序语言只有二元关系符号 $<$，可分别解释为 $\mathbb{N}$、$\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{R}$ 上的序。若函数符号被解释为部分函数，就不再是标准一阶结构，需改语言或扩展语义。

结构是模型论的基本对象，使同一理论可比较不同模型。它支撑满足、初等嵌入、子结构、超积及代数结构的一阶公理化。

变量赋值公理库变量赋值Variable assignment把自由变量映射到结构论域元素的函数。与结构一起递归定义 满足关系公理库满足关系Satisfaction relation · Tarski semantics用对公式构造的递归定义刻画结构与赋值何时满足一阶公式。。一阶理论公理库一阶理论First-order theory同一一阶语言中一组句子及其模型类所构成的理论。研究某类结构共同满足的句子，模型同态、初等等价与超积则比较结构之间保留了多少公式信息。