形式陈述

对命题公式集 $\Gamma$$\mathrm{\Gamma }$ 和公式 $\varphi$$\phi$，若每个满足 $\Gamma$$\mathrm{\Gamma }$ 的赋值也满足 $\varphi$$\phi$，则称 $\Gamma$$\mathrm{\Gamma }$ 语义蕴涵 $\varphi$$\phi$，记作

$$ \Gamma\models\varphi. $$$$\mathrm{\Gamma }\models \phi .$$

形式上，$\forall v[(\forall\gamma\in\Gamma,\ v(\gamma)=\top)\Rightarrow v(\varphi)=\top]$$\mathrm{\forall }v[(\mathrm{\forall }\gamma \in \mathrm{\Gamma },v(\gamma )=\mathrm{\top })\Rightarrow v(\phi )=\mathrm{\top }]$。等价地，$\Gamma\cup\{\neg\varphi\}$$\mathrm{\Gamma }\cup \{\mathrm{\neg }\phi \}$ 不可满足。若 $\Gamma$$\mathrm{\Gamma }$ 不可满足，则它语义蕴涵每个公式，这是全称条件没有反例赋值所导致的空真。

直觉

蕴涵问的是：能否找到一个满足全部前提却让结论为假的反例世界；找不到时，结论才被前提逻辑强制。

例子与边界

$\{p\to q,p\}\models q$$\{p\to q,p\}\models q$。但 $p\lor q\not\models p$$p\vee q⊭p$，反例是 $p=\bot,q=\top$$p=\mathrm{\perp },q=\mathrm{\top }$。自然语言中的因果“导致”与语义蕴涵不同；这里不涉及时间或因果，只比较同一赋值下的真值约束。前提集不可满足时的爆炸性说明建模前应先检查一致性，否则任何目标都被平凡蕴涵。

推论与应用

语义蕴涵定义逻辑有效推理，借不可满足性可交给 SAT 求解器检查。可靠性和完备性定理再把它与形式可证关系连接。

参考资料

• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019，Ch. 1, sentential consequence and counterexamples。
• Herbert B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, 2nd ed., Academic Press, 2001，§1.2, tautological implication。