满足关系

满足关系 $\mathcal{M},s\models \phi$ 把语法公式、结构解释与变量赋值连接起来。语法树从叶到根获得意义：先在结构和赋值中计算项、检查原子事实，再按真值规则组合联结词；量词则改变某个变量的赋值并遍历论域。句子没有自由变量，其真假因而只依赖结构。

在自然数结构中，$\mathrm{\exists }x(x+x=4)$ 为真，而 $\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }y(x<y)$ 也为真。量词顺序不可交换：$\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }yx<y$ 与 $\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }xx<y$ 真值不同。满足关系由外部元语言定义，不是结构内部自动拥有的谓词；Tarski 不可定义性说明足够强结构中一般不能无条件内部定义自身全部真理。

在整数结构中，赋值 $s(x)=2$ 时满足 $x+1=3$。$\mathcal{M},s\models \mathrm{\exists }x\phi$ 表示存在与 $s$ 只可能在 $x$ 上不同的赋值 $s^{\prime }$ 使 $\phi$ 成立；不能把量词简单理解成替换某个固定常元。对自由变量不出现的公式，改变该变量赋值不影响真假。

一阶结构公理库一阶结构First-order structure · Interpretation为一阶语言中的常元、函数符号和关系符号指定集合上解释的数学结构。提供符号解释，变量赋值公理库变量赋值Variable assignment把自由变量映射到结构论域元素的函数。提供自由变量取值。满足关系由此定义模型、可定义集合、初等等价和语义蕴涵公理库语义蕴涵Semantic entailment所有满足前提集的结构与赋值也满足结论时成立的语义关系。，是一阶可靠性、完备性乃至整个模型论的语义基础；它的结构递归形式也使关于公式的归纳证明成为可能。