集合论反射原理

形式陈述 ​

设 $\mathrm{\Gamma }$ 是集合论语言中有限个公式组成的集合，$\beta$ 是任意序数。Lévy–Montague 反射定理断言，存在序数 $\alpha >\beta$，使对每个 $\phi (x_1,\dots ,x_n)\in \mathrm{\Gamma }$ 及所有参数 $a_1,\dots ,a_n\in V_{\alpha }$，

等价地，公式在右侧全部量词相对化到 $V_{\alpha }$ 后，与整个宇宙中的真值一致。这里 $V_{\alpha }$ 来自累积层级理路累积层级Cumulative hierarchy · von Neumann hierarchy · V hierarchy沿序数阶段反复取幂集并在极限阶段取并，组织全部良基集合的层级。，右侧的 $\models$ 是满足关系理路满足关系Satisfaction relation · Tarski semantics用对公式构造的递归定义刻画结构与赋值何时满足一阶公式。。对固定有限 $\mathrm{\Gamma }$，满足反射的序数不仅任意高，还可选成一个闭无界类中的成员。

证明先把 $\mathrm{\Gamma }$ 扩充为对子公式封闭的有限集合。对每个存在公式 $\mathrm{\exists }y\psi (y,\overline{x})$，在有见证时取“某个见证所在层的最小序数”，无见证时记为零。这里只选择唯一确定的序数，不必为各组参数同时选取具体见证。对一层中的全部有限参数组使用替换，再取这些序数的上界，就把“参数所在层需要升到多高才容纳见证”编码成序数函数。取同时封闭于有限多个此类函数的极限点 $\alpha$，再按公式复杂度归纳，存在量词的见证不会越出 $V_{\alpha }$，其余逻辑联结词随即保持。

“闭无界”可从这一闭包构造直接看出：从任意起点向上反复加入有限多个见证函数所要求的高度，再取极限，就得到更高的共同闭包点，故这类序数无界；而递增闭包点列的上确界仍容纳列中每一层已经控制的见证，故对极限封闭。若还指定有限个参数，只须让起点高于它们各自的秩；随后同一闭包过程会把参数及相关见证一并留在所选层级内。

连续层级的相对版本 ​

同一证明适用于一个可定义的递增层级 $(M_{\alpha }{)}_{\alpha \in \mathrm{Ord}}$：每层是集合，非零极限处取并，并令 $M=\bigcup _{\alpha }{M}_{\alpha }$ 为非空类。对固定有限公式族，可以在任意起点之上找到非空层 $M_{\alpha }$，使这些公式在 $(M_{\alpha },\in )$ 与 $(M,\in )$ 之间对层内参数绝对。证明中把“见证所在的 $V$ 层高度”改为“见证首次进入 $M$ 层级的高度”即可；不要求该类先已满足完整 ZF。这个版本正可用于 $L_{\alpha }$ 与其类并 $L$，而不是把 $V$ 的反射结论直接换一个字母套用。