形式陈述

一阶语言（签名）$L$$L$ 指定常元符号、每个有限元数的函数符号与关系符号；变量来自可数或指定集合。项递归生成：变量和常元是项，若 $f$$f$ 为 $n$$n$ 元函数符号且 $t_1,\ldots,t_n$$t_1,\dots ,t_n$ 为项，则 $f(t_1,\ldots,t_n)$$f(t_1,\dots ,t_n)$ 为项。原子公式形如 $R(t_1,\ldots,t_n)$$R(t_1,\dots ,t_n)$ 或 $t_1=t_2$$t_1=t_2$；公式由原子式经布尔联结词和量词 $\forall x,\exists x$$\mathrm{\forall }x,\mathrm{\exists }x$ 有限递归生成。句子是没有自由变量的公式。

直觉

语法只规定哪些有限字符串是合法表达式以及它们如何分解，不给符号任何具体对象意义；意义要等结构和变量赋值提供。

例子与边界

群语言可只有常元 $e$$e$、二元函数 $\cdot$$\cdot$ 和一元函数 $^{-1}$${}^{-1}$；$\forall x(x\cdot e=x)$$\mathrm{\forall }x(x\cdot e=x)$ 是句子。若只写 $R(x)$$R(x)$，则 x 通常自由。元语言里的省略记号、自然语言括号和优先级必须能还原成唯一语法树。量词只遍历论域元素，不能在一阶语法中直接量化所有子集或关系。

推论与应用

严格语法使公式可编码、递归解析、替换和归纳证明，是满足关系、形式系统和 Gödel 编码的基础。不同签名决定可表达结构的词汇，但不改变一阶形成规则。

参考资料

• Herbert B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, 2nd ed., Academic Press, 2001，§2.1, vocabularies, terms, and formulas。
• Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, and Wolfgang Thomas, Mathematical Logic, 2nd ed., Springer, 1994，Ch. I, syntax of first-order languages。