形式陈述

设 $T$ 是一阶句子集。若每个有限子集 $T_0\subseteq T$ 都有模型，则整个 $T$ 有模型。等价地，若 $T\models \phi$，则存在有限 $T_0\subseteq T$ 使 $T_0\models \phi$。由完备性可见：不可满足会产生有限证明，从而只使用有限多个句子。

直觉

一阶逻辑中的矛盾总能由有限信息见证；无限约束只要每个有限片段兼容，就存在统一模型。

例子与边界

用“至少有 $n$ 个元素”的句子族可构造无限模型。紧致性不适用于完整二阶语义，也不保证模型有限或可计算。

推论与应用

它产生非标准模型、不可公理化结果和 Löwenheim–Skolem 型构造。

参考资料

• Open Logic Project contributors, Open Logic Project (2026), compactness and completeness.
• Herbert B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, 2nd ed. (2001), compactness theorem.