存在唯一性证明

存在性回答“候选能不能找到”，唯一性回答“换一个候选会不会不同”。构造一个候选并代入，只完成第一问；从任意两个解推出它们相等，只完成第二问。后者在根本无解时也可能成立，因为“若两者都是解”这一前提永远不满足。

解方程时，先假设有解并推出候选公式，实际上通常只证明了“任何解都只能是这个数”。仍须代回原方程，并核对定义域、分母和符号条件。这个回代步骤把必要条件补成充分条件，才真正建立存在性。

一个完整的两段证明 ​

固定实数 $a\ne 0$ 与 $b$，证明方程 $ax=b$ 有唯一实解。先探索候选：若有解，除以 $a$ 可知它只能是 $b/a$。这一步尚未验证候选。

存在性：令 $x_0=b/a$。因 $a\ne 0$，它是合法的实数，且代入得 $a{x}_0=a(b/a)=b$。唯一性：任取两个解 $x,y$，相减得 $a(x-y)=0$，再次由 $a\ne 0$ 得 $x=y$。也可以直接引用探索阶段“任何解只能是 $b/a$”的结论完成唯一性。

当 $a=0$ 时，$b\ne 0$ 导致无解，$b=0$ 则每个实数都是解。两个边界分别破坏存在性和唯一性；先前两次除以 $a$ 都不能在这里使用。

正平方根中的两种论证 ​

对 $a>0$，在正实数中求 $x^2=a$。函数 $t\mapsto t^2-a$ 在 $[0,a+1]$ 连续，左端为负，右端为 $a^2+a+1>0$；介值定理理路介值定理Intermediate value theorem连续函数在实区间上不能跳过中间高度；由完备性证明存在性，并厘清二分法、唯一性和不动点迭代。给出区间内部的根，因而得到正解。这里存在性最终依赖实数的完备性。

若 $x,y>0$ 且 $x^2=y^2=a$，则 $(x-y)(x+y)=0$。由于 $x+y>0$，只有 $x=y$。扩大论域到全部实数会出现正、负两个根；改为正有理数且取 $a=2$ 时，至多一个正解的证明仍有效，却没有满足条件的有理数。论域因此是结论的一部分。

连续但不唯一的微分方程 ​

常微分方程也揭示两问的区别。$y^{\prime }=2\sqrt{|y|}$、$y(0)=0$ 在 $t\ge 0$ 上既有零解，又有对任意 $c\ge 0$ 定义的解：$t\le c$ 时 $y(t)=0$，$t\ge c$ 时 $y(t)=(t-c{)}^2$。在 $t<c$ 时，两边均为零；在 $t>c$ 时，导数为 $2(t-c)$，右端为 $2\sqrt{(t-c{)}^2}=2(t-c)$。当 $c>0$ 时拼接点左右导数都为零；$c=0$ 时，定义域端点的右导数也为零，因此整个函数确实满足方程。不同的 $c$ 表示从零开始增长的时刻不同，给出不同的解。

右端连续，但在零点附近没有常数 $L$ 能让变化量满足 $|2\sqrt{|y|}-0|\le L|y|$：对 $y>0$，函数变化量与自变量变化量之比为 $2/\sqrt{y}$，随 $y$ 趋近零无界。这正是局部 Lipschitz 条件失效的具体表现。本例以显式多解证明不唯一；一般而言，仅仅缺少某个唯一性定理的假设，还不足以断言一定多解。

对映射 $f:A\to B$，每个 $b\in B$ 至多有一个原像是单射理路单射Injective function · One-to-one function不同输入必有不同输出的函数。，至少有一个原像是满射理路满射Surjective function · Onto function陪域中每个元素都有至少一个原像的函数。。两者合起来保证逆映射逐点定义良好。这里“定义一个函数”本身就要求每个输入得到唯一输出。

递归定义和商结构上的运算也需要同样检查：前者必须保证递归规则决定对象，后者必须证明不同代表元产生相同结果。泛性质理路泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。则常以唯一分解刻画对象；对象本身的“唯一”通常是唯一同构意义，而不是底层集合字面相等，需要随语境说明。