形式陈述

“存在唯一 $x$$x$ 使 $P(x)$$P(x)$”写作 $\exists!x\,P(x)$$\mathrm{\exists }!xP(x)$，等价于

$$ (\exists x\,P(x))\land \forall x\forall y\,((P(x)\land P(y))\Rightarrow x=y). $$$$(\mathrm{\exists }xP(x))\wedge \mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y((P(x)\wedge P(y))\Rightarrow x=y).$$

证明通常分为至少一个对象存在与至多一个对象存在两部分。

直觉

给出一个候选并验证它，只完成存在性；排除多解但未保证解存在，只完成唯一性。两个任务需要明确分开。

例子与边界

线性方程 $ax=b$$ax=b$ 在 $a\ne0$$a\ne 0$ 时有唯一实解 $b/a$$b/a$。常微分方程的存在唯一性定理需要连续性或 Lipschitz 等条件；去掉条件可能无解或多解。

推论与应用

逆函数、递归定义、规范形和商结构上的运算都需要存在唯一性。唯一性常通过假设两个候选并比较其满足的同一性质证明。

参考资料

• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, Chapters 7–8。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Quantifiers and Proofs chapters。