形式陈述

给定同一语言 $L$$L$ 的结构族 $(\mathcal M_i)_{i\in I}$$({\mathcal{M}}_i{)}_{i\in I}$ 和 $I$$I$ 上超滤子 $\mathcal U$$\mathcal{U}$，在笛卡尔积 $\prod_iM_i$$\prod _i{M}_i$ 上定义

$$ f\sim_{\mathcal U}g \iff \{i\in I:f(i)=g(i)\}\in\mathcal U. $$$$f{\sim }_{\mathcal{U}}g⟺\{i\in I:f(i)=g(i)\}\in \mathcal{U}.$$

超积的论域是商集 $\prod_iM_i/{\sim_{\mathcal U}}$$\prod _i{M}_i/{\sim }_{\mathcal{U}}$。函数符号逐坐标作用后取等价类；关系 $R([f_1],\ldots,[f_n])$$R([f_1],\dots ,[f_n])$ 成立，当且仅当满足 $R^{\mathcal M_i}(f_1(i),\ldots,f_n(i))$$R^{{\mathcal{M}}_i}(f_1(i),\dots ,f_n(i))$ 的指标集合属于 $\mathcal U$$\mathcal{U}$。这些定义对代表元良定义。若所有 $\mathcal M_i=\mathcal M$${\mathcal{M}}_i=\mathcal{M}$，称超幂。

直觉

先把每个指标处的结构并排放置，再把“在超滤子看来几乎所有坐标相同”的序列视为同一元素；结构运算也按坐标执行并忽略小集合差异。

例子与边界

若 $\mathcal U$$\mathcal{U}$ 是由 $i_0$$i_0$ 产生的主超滤子，则超积同构于单个因子 $\mathcal M_{i_0}$${\mathcal{M}}_{i_0}$。在自然数上的自由超滤子下，实数超幂含有由序列 $(1,2,3,\ldots)$$(1,2,3,\dots )$ 表示的无限超实数。构造无限笛卡尔积和选择存在自由超滤子可能用到选择原则。商关系不是“除有限多个坐标外相同”本身，除非所用滤子恰把相应集合判大。

推论与应用

超积把局部结构族压成一个新模型，Łoś 定理保证一阶性质按超滤多数传递。它用于紧致性、非标准分析、伪有限结构和模型构造。

参考资料

• David Marker, Model Theory: An Introduction, Springer, 2002，§2.2, ultraproduct construction and well-defined interpretations。
• Wilfrid Hodges, Model Theory, Cambridge University Press, 1993，Ch. 4, products modulo an ultrafilter。