超积

超积先把每个指标处的结构按坐标并排，再由超滤决定哪些指标集合算“足够大”，而不是简单忘掉有限多个位置。两个序列被视为同一元素，只要求它们相等的坐标集合属于超滤；关系和函数也逐坐标计算，再用同一多数标准裁决。这样既保留一阶公式的局部真值，又能把不断变大的有限结构压成含有新元素的极限式模型。所用超滤不同，哪些局部现象被保留也可能不同。

若 $\mathcal{U}$ 是由 $i_0$ 产生的主超滤子，则超积同构于单个因子 ${\mathcal{M}}_{i_0}$。在自然数上的自由超滤子下，实数超幂含有由序列 $(1,2,3,\dots )$ 表示的无限超实数。这里要把三种选择问题分开。乘积 $\prod _i{M}_i$ 作为函数集合在 ZF 中可以定义；若各 $M_i$ 非空，断言该乘积非空就是要求一支选择函数，对任意族统一保证这一点需要选择公理理路选择公理Axiom of choice · AC把任意集合族中逐个存在的元素同时汇成一个选择函数的公理。。商集及逐坐标运算不要求预先为每个等价类选代表，但若要同时指定一套代表，则又是在选择截面。最后，自由超滤子的存在来自超滤子引理（Boolean Prime Ideal Theorem）等选择原则；该原则弱于完整 AC，却不能在 ZF 中无条件使用。商关系也不是“除有限多个坐标外相同”本身，除非所用滤子恰把相应集合判大。

若所有 $M_i=M$，所得超幂包含由常值序列嵌入的 $M$，也可能含新的非标准元素。对特征趋于无穷的有限域序列取非主超积，例如取素数 $p_i\to \mathrm{\infty }$ 时的 ${\mathbb{F}}_{p_i}$，可得到特征 $0$ 的伪有限域；若域的大小趋于无穷而特征始终固定为 $p$，所得超积仍具有特征 $p$。用真滤子而非超滤时，仍可按相同原子解释得到一个经典二值的约化积；失败的是把每个公式的真值都按该滤子传递的 Łoś 结论，而不是二值语义本身。例如在 $I=\{0,1\}$ 上取滤子 $\{I\}$，两个 ${\mathbb{F}}_2$ 的约化积就是普通直积 ${\mathbb{F}}_2\times {\mathbb{F}}_2$。其中非零元素 $(1,0)$ 与 $(0,1)$ 相乘为零，所以结果不是域，尽管两个因子都是域。一般滤子可能既不包含某个指标集也不包含其补集，正是否定步骤无法照搬的原因。

超滤理路超滤子Ultrafilter集合的幂集上满足向上封闭、有限交封闭并对每个子集作二择一判定的极大滤子。给出“在超滤意义下几乎处处”的二值判定，Łoś 定理理路Łoś 定理Łoś theorem · Fundamental theorem of ultraproducts超积中一阶公式成立，当且仅当其分量成立的指标集合属于所用超滤子。则保证每个一阶公式按这一多数规则传递。超积由此把一族一阶结构理路一阶结构First-order structure · Interpretation为一阶语言中的常元、函数符号和关系符号指定集合上解释的数学结构。压成新模型，用于紧致性、非标准分析、伪有限域和其他模型构造。它只稳定一阶可表达性质；有限性、良基性和基数大小等外部性质不能直接按超滤多数搬运。