超滤子

将属于滤子的子集叫作“大集合”。向上封闭说，大集合加入更多点仍然大；有限交封闭说，有限多个同时应满足的要求可以共同成立；排除空集防止这些要求互相矛盾。超滤子进一步对每个子集判定“大”或其补集“大”，不留下未决选项。

这种“大”与点数比例无关。主超滤子把所有注意力放在一个指定点；自然数上的自由超滤子则忽略有限个例外，却仍要在偶数集与奇数集之间选择一方。其判断是一致的布尔判定，不是通常的多数投票。

极大性为什么等价于二择一 ​

设 $\mathcal{U}$ 极大而 $A\notin \mathcal{U}$。若每个 $U\in \mathcal{U}$ 都与 $A$ 相交，则所有包含某个 $U\cap A$ 的子集组成一个真滤子，并严格包含 $\mathcal{U}$，矛盾。因此有 $U\in \mathcal{U}$ 满足 $U\cap A=\varnothing$，向上封闭给出 $I\setminus A\in \mathcal{U}$。两者不能同时属于 $\mathcal{U}$，否则它们的交为空集也属于它。

反过来，若已满足二择一，任何真滤子扩张只要试图加入 $A\notin \mathcal{U}$，就会与原有的 $I\setminus A$ 相交得到空集，故不存在严格扩张。

有限划分与可数运算 ​

对有限划分 $I=A_1\bigsqcup \cdots \bigsqcup A_k$，恰好一个分块属于超滤子。两个分块不可能同时大；若一个也不大，所有补集都大，它们的有限交却为空，矛盾。有限 $I$ 的单点划分因此说明：每个超滤子都主于某个点。若超滤子含一个有限集，对该有限集重复这一论证，也会得到它含某个单点。

在 $\mathbb{N}$ 上，所有余有限集组成 Fréchet 滤子，但它没有判定偶数集和奇数集，所以不是超滤子。将它扩张成超滤子，就得到自由超滤子：任何有限集的补集已在其中，故该有限集不能加入。

有限交不能擅自推广为可数交。令 $A_n=\{m\in \mathbb{N}:m\ge n\}$，每个 $A_n$ 都属于自由超滤子，但 $\bigcap _n{A}_n=\varnothing$。若定义 $\mu (A)=1$ 当且仅当 $A\in \mathcal{U}$，便得到取值 $0,1$ 的有限可加概率；自由情形下每个单点测度为零，而自然数全集测度为一，因此它不是可数可加概率测度。

超滤子引理断言每个真滤子都可扩张成超滤子。用佐恩引理理路佐恩引理Zorn's lemma若偏序集中每条链都有上界，则该偏序集存在极大元。证明时，按包含排列所有真滤子扩张：非空链的并仍排除空集；并中有限多个成员同处链中某个滤子，所以仍满足有限交封闭，并保留向上封闭性。空链则以原来的真滤子为上界。极大元就是所需超滤子。这个证明使用选择公理的一个等价形式，但超滤子引理本身在 ZF 上等价于布尔素理想定理，弱于完整选择公理，不能把证明所用的强原则误当成结论的必要强度。

超积理路超积Ultraproduct按超滤子诱导的等价关系对一族结构的直积取商所得的结构。将两个坐标序列视为相同，当且仅当它们相等的指标集合属于超滤子；Łoś 定理理路Łoś 定理Łoś theorem · Fundamental theorem of ultraproducts超积中一阶公式成立，当且仅当其分量成立的指标集合属于所用超滤子。进一步把这种“几乎处处”判定推广到一阶公式。广义极限与 Stone–Čech 紧化也使用超滤子，但自由超滤子的存在性并不自动提供一个能逐个判定任意子集的计算程序。