超滤子

超滤是在每个子集与其补集之间作出一致二选一的极大滤子：对任意 $A\subseteq X$，恰有 $A$ 或 $X\setminus A$ 被视为“几乎处处大”，向上封闭与有限交封闭则保证这些判断彼此相容。主超滤把“几乎处处”退化为“包含某个固定点”；非主超滤则把有限集合公理库集合Set由成员完全决定的数学对象；成员关系给出集合的内容，额外结构须另行指定。都视为小，但通常需要选择原则才能保证存在。

在有限集合上，每个超滤子都是主超滤子。若 $\mathcal{U}$ 自由，则每个余有限集属于 $\mathcal{U}$。不能让两个互不相交集合都属于同一真滤子，因为其交为空；超滤子二选一性质也不表示对无限可数并具有概率测度的可加性。Fréchet 余有限滤子在无限集上不是超滤子，因为许多无限集合及其补集都无限。

固定 $x\in X$，集合族 $\{A\subseteq X:x\in A\}$ 是主超滤。自然数上的余有限集合构成滤子但不是超滤，因为可把偶数或奇数加入而保持滤子性质。非主超滤不包含任何有限集合，并对每个有限划分恰好选择一个分块。

超滤把“在一组指标上成立”的模糊多数概念，变成满足严格布尔选择的代数对象。超积公理库超积Ultraproduct按超滤子诱导的等价关系对一族结构的直积取商所得的结构。用它定义坐标序列的等价与“几乎处处”真假，Łoś 定理公理库Łoś 定理Łoś theorem · Fundamental theorem of ultraproducts超积中一阶公式成立，当且仅当其分量成立的指标集合属于所用超滤子。由此传递一阶公式；广义极限、Stone 对偶和紧致性论证也采用这一工具。超滤引理弱于完整选择公理，却足以证明布尔素理想定理、某些紧致性结果与 Stone–Čech 紧化。