形式陈述

集合 $I$$I$ 上的滤子 $\mathcal U\subseteq\mathcal P(I)$$\mathcal{U}\subseteq \mathcal{P}(I)$ 是满足：$I\in\mathcal U$$I\in \mathcal{U}$、$\varnothing\notin\mathcal U$$\varnothing \notin \mathcal{U}$；有限交封闭；若 $A\in\mathcal U$$A\in \mathcal{U}$ 且 $A\subseteq B$$A\subseteq B$，则 $B\in\mathcal U$$B\in \mathcal{U}$。若进一步对每个 $A\subseteq I$$A\subseteq I$，恰有 $A\in\mathcal U$$A\in \mathcal{U}$ 或 $I\setminus A\in\mathcal U$$I\setminus A\in \mathcal{U}$，则为超滤子；等价地，它是极大真滤子。由一点 $i_0$$i_0$ 产生的主超滤子为 $\{A:i_0\in A\}$$\{A:i_0\in A\}$。无限集上的自由超滤子不含有限集，其一般存在性依赖超滤子引理等选择原则。

直觉

超滤子把每个子集判为“几乎处处大”或其补集大，并以有限交保持这些判断一致；主超滤子只是把“几乎处处”退化成“在某固定点”。

例子与边界

在有限集合上，每个超滤子都是主超滤子。若 $\mathcal U$$\mathcal{U}$ 自由，则每个余有限集属于 $\mathcal U$$\mathcal{U}$。不能让两个互不相交集合都属于同一真滤子，因为其交为空；超滤子二选一性质也不表示对无限可数并具有概率测度的可加性。Fréchet 余有限滤子在无限集上不是超滤子，因为许多无限集合及其补集都无限。

推论与应用

超滤子用于超积、紧致性、Stone 对偶和广义极限。它把“在一组指标上成立”的模糊多数概念变成满足严格布尔选择的代数对象。

参考资料

• David Marker, Model Theory: An Introduction, Springer, 2002，§2.2, filters and ultrafilters for ultraproducts。
• Wilfrid Hodges, Model Theory, Cambridge University Press, 1993，Ch. 4, ultrafilters and Boolean decisions。