形式陈述

ZF 在只有二元关系 $\in$$\in$ 的一阶语言中，由外延、空集、配对、并集、幂集、无穷、分离模式、替换模式和正则等公理组成。其对象统一称为集合，数学结构通过集合编码。

直觉

它不把“任意性质都形成集合”当作理所当然，而只允许由明确公理保证的集合构造，从而避开朴素集合论的悖论。

例子与边界

自然数可按冯·诺伊曼方式编码为 $0=\varnothing$$0=\varnothing$、$n+1=n\cup\{n\}$$n+1=n\cup \{n\}$。ZF 不包含选择公理；加入选择公理后得到 ZFC。

推论与应用

数、函数、拓扑空间和代数结构都能在 ZF 中统一构造。它也是讨论独立性、基数和序数的标准背景。

参考资料

• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Chapters 1–3.
• Kenneth Kunen, Set Theory, 2011 ed., Chapter I.