内模型

内模型与外部宇宙共享同一条序数时间轴和同一种成员关系，却只保留部分集合。它像一座贯穿所有楼层的窄塔：高度没有缩短，每层可住的对象变少。由此可以比较“加入或删去某类集合”会怎样改变选择、连续统、组合原则与大基数性质。

共享序数十分关键。若只取某个 $V_{\alpha }$，高度在 $\alpha$ 截断，许多差异可能只是因为后续序数不存在；内模型保留所有序数高度，因此可以集中比较各层包含哪些子集。它因此是相对一致性和独立性证明的标准比较对象。

$L$ 是最小内模型：若 $N$ 是任意 ZF 内模型，则 $N$ 含全部序数，并能按绝对的定义递归重建每个 $L_{\alpha }$，所以 $L\subseteq N$。HOD 通常更大；总有

但两个包含都可能为严格。$V$ 自身形式上也是自己的内模型，不过在比较方法中它不给出更小的参照。

内模型与外部共享序数，不代表共享基数。若某个无限序数在外部可数，但 $N$ 中没有它与 $\omega$ 之间的双射，$N$ 就会把它视为不可数；对 $x\in N$，内部幂集

可能严格小于外部幂集。于是 CH、GCH 和后继基数必须标明在哪个模型中解释。序数绝对，基数是“没有某种双射”的模型相对性质。

任意传递真类并不自动成为内模型。例如“全部序数”作为类是传递的，也含全部序数，却不闭合于配对和幂集，不能满足 ZF。任意可定义类也可能不传递或不满足替换。三个定义条件都承担独立职责。

力迫语境常说基模型 $M$ 是扩张 $M[G]$ 的内模型。若从外部把二者视作集合大小传递模型，这句话是相对于它们共同的模型宇宙说的：集合力迫保持 $M$ 的序数，$M$ 在 $M[G]$ 中扮演全高度地面。这里的“全高度”以 $M[G]$ 的序数为参照。

内模型方法通过“在较窄宇宙中验证公理”给出向内的相对一致性证明。Gödel 证明 $L\models \mathrm{ZFC}+\mathrm{GCH}$，从而建立 AC 与 CH 的一致方向。更强的内模型把可测基数等额外结构编码进层级，用于校准大基数公理的强度与描述集合论结论。

内模型与外部宇宙共享序数，但对哪些序数是基数、哪些实数存在，以及哪些组合原则成立，可以有不同判断。反方向的力迫则向模型加入泛型集合。内模型与力迫一收一放，共同构成现代独立性证明的两种基本运动。

从 $N\models \phi$ 推到 $V\models \phi$，需要适用于该公式和参数的绝对性结果。例如，传递性保证对已有集合的成员检查一致；涉及“存在某个子集或函数”的命题，则可能在较大的宇宙中获得新的见证。公式的量词范围因此决定了哪些真值能在模型间传递。