可构造宇宙

$L$ 是从序数出发、只允许可定义步骤所得到的最瘦规范宇宙。每个对象都有最早出现层和有限定义代码，因此整个宇宙可以被统一排序；在完整 $V$ 中任意出现的子集，在 $L$ 中必须提交一份来自较早阶段的定义凭据。

“最瘦”是内模型意义的，不是外部基数意义的。$L$ 含有每个序数，长度与 $V$ 一样高，但在各层尤其是实数层可能更窄。它由类长度而非集合长度的递归组成，所以不能把 $L$ 当作某个巨大 $L_{\alpha }$，也不能问它在 $V$ 中的集合基数。

在满足 $V=L$ 的宇宙中，每个实数都在某个可数层 $L_{\alpha }$ 出现，并可由层级中的公式和参数追踪。$L$ 的规范良序由出现阶段、公式代码和参数代码依次比较，不是宣称实数具有通常大小序下的良序。

设 $M$ 是 ZFC 的传递地模型，$G$ 是在其上加入一个 Cohen 实数的 $M$-泛型滤子，并记新实数为 $c$。力迫不增加序数，构造 $L_{\alpha }$ 的定义在 $M$ 与 $M[G]$ 间保持，因此

而 $c\notin L^M$。于是 $M[G]\models V\ne L$，同时它内部的 $L$ 仍满足 ZFC+GCH。这个例子清楚分开“$L$ 内 CH 为真”与“外部宇宙 CH 为真”：若扩张加入足够多新实数，外部可以满足 $\mathrm{\neg }\mathrm{CH}$，并不改变 $L$ 自己的判断。

序数在 $L$ 与 $V$ 间相同，基数身份却未必相同。$L$ 认为的 ${\omega }_1^L$ 在更大的 $V$ 中可能是可数序数，因为外部可能拥有一个 $L$ 中不存在的枚举。故表达式“$L$ 满足 GCH”中的后继基数和幂集都必须在 $L$ 内解释，不能拿外部 $\mathcal{P}(\kappa )$ 代入。

Gödel 的内模型论证给出相对一致性：若 ZF 一致，则 ZF+AC+GCH 一致。模型论地说，从任意 ZF 模型取其内部 $L$，得到一个满足后者的内模型；把这套构造形式化便得到一致性蕴含。它不会证明 ZF 本身一致，也不会说明 $V=L$ 是意向宇宙的真实描述。

$L$ 还是最小的 ZF 内模型：任何包含全部序数的传递类模型 $N$ 都能在内部重建每个 $L_{\alpha }$，从而 $L\subseteq N$。这一最小性使 $L$ 成为检验命题是否至少能在一个规范宇宙中成立的基线，也使偏离 $L$ 的对象可以被解释为额外集合论信息。

可构造宇宙证明 CH 的相对一致方向，却不能证明 CH 对 ZFC 可证。Cohen 力迫给出相反方向；两者合在一起才形成 CH 独立性。现代内模型进一步加入测度、extender 等结构以容纳大基数，说明“内模型”不是 $L$ 的同义词，而是一套可扩展的方法。