集合的秩

把集合展开成一棵向下的成员树：根是 $x$，下一层列出 $x$ 的元素，再下一层列出这些元素的元素。秩给每个节点贴上一个严格高于全部子节点的最小序数标签。有限高度时它就是熟悉的树高；若有限路径长度没有统一上界，秩至少为 $\omega$，而各节点如何承接这些子树还可能使秩更高。例如 $\omega$ 的秩是 $\omega$，在它上面再加一个单元素根 $\{\omega \}$，秩就成为 $\omega +1$。

“首次进入 $V$ 的哪一层”与递归公式说的是同一件事。若所有成员都已在 $V_{\alpha }$，那么 $x$ 是 $V_{\alpha }$ 的一个子集，于是下一次取幂集时被收入；反过来，$x$ 若已经在某个后继层，其全部成员必然来自更早层。这个对应把全局层级位置化成可以逐个成员计算的局部不变量。

空集没有成员，所以 $\mathrm{rank}(\varnothing )=0$。令

则 $\mathrm{rank}(a)=1$，而

集合 $b$ 恰好是 von Neumann 序数 $2$，也具体展示了序数的秩等于自身。再看 $\omega$：每个 $n\in \omega$ 的秩是 $n$，故

秩相同不意味着集合相同或等势。例如 $\{\{\varnothing \}\}$ 与 $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ 的秩都为 $2$，基数却分别为 $1$ 与 $2$。反过来，等势也不保证秩相同：$\{\varnothing \}$ 与 $\{\{\varnothing \}\}$ 的基数都为一，秩分别为 $1$ 与 $2$。秩也不是公式复杂度：一个定义很短的集合可以具有很高秩，一个遗传有限集合仍只有有限秩，但仅有顶层元素个数有限并不够：$\{\omega \}$ 只有一个元素，秩却是 $\omega +1$。

若放弃正则公理并允许 Quine 原子 $q=\{q\}$，递归式会要求 $\mathrm{rank}(q)>\mathrm{rank}(q)$，不可能成立。因而秩只直接适用于良基成员关系。对一个外部看来不良基的非标准模型，模型内部可能仍声称每个“集合”有秩；这是内部满足关系与外部真实良基性的差别，不能混为一谈。

秩把对任意集合的证明化为超限归纳：若某性质对 $x$ 的全部成员成立便能推出对 $x$ 成立，就按 $\mathrm{rank}(x)$ 作超限归纳理路超限归纳法Transfinite induction若性质在每个序数处由所有更小序数上的成立推出，则它对全部序数成立。即可。这是良基递归、传递闭包、Mostowski 坍缩以及按名字秩定义力迫语义的共同证明骨架。

对任意集合 $A$，替换给出秩集合 $\{\mathrm{rank}(x):x\in A\}$，取其上确界后可找一个统一的 $V_{\alpha }$ 容纳 $A$ 的全部元素，继而容纳 $A$。这个简单事实说明为什么任何集合大小的数据都只占据宇宙的某个有界高度，也解释了“全部序数”不能构成集合：若它们构成集合，其秩应有一个序数上界，却又包含超过该上界的序数。

秩还能辨认绝对性边界。传递模型正确计算其元素的秩，只要模型含有计算中需要的序数与替换实例；非传递模型则可能把伪序数、伪成员链当作真实对象。秩提供诊断工具，但不自动使一个模型传递，也不保证某个 $V_{\alpha }$ 满足完整 ZF。