力迫预序 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $M$ 是传递 ZFC 模型。一个属于 $M$ 的力迫预序是结构

\mathbb P=(P,\leq,1_{\mathbb P})\in M,

其中 $P$ 是非空集合， $\leq$ 是自反且传递的二元关系， $1_{\mathbb P}$ 是最弱条件。这里约定

p\leq q \quad\Longleftrightarrow\quad p\text{ 比 }q\text{ 更强，携带至少同样多的信息}.

于是所有条件都满足 $p\leq1_{\mathbb P}$ 。若 $\leq$ 还反对称， $\mathbb P$ 就是偏序；实际文献常把两种情形都简称 forcing poset。条件 $p,q$ 相容，若存在 $r\leq p,q$ ；否则记作 $p\perp q$ 。给定 $p$ 后，锥

\mathbb P\mathbin{\upharpoonright}p=\{q\in P:q\leq p\}

表示从 $p$ 已有信息继续加强的全部可能。

预序中若 $p\leq q\leq p$ ，二者对后续加强没有次序差别，可先取等价类的商集得到偏序。进一步还可取 separative quotient 或 Boolean completion；这些构造通过等价的条件表示保留泛型扩张。

直觉

力迫条件不是一个已经完成的新对象，而是有限或局部承诺。更强条件必须尊重旧承诺并补充信息；两个条件冲突，表示不存在同时兑现两份承诺的共同细化。泛型对象由一族彼此协调且不断加强的条件拼合而成。

这里采用“更强条件更小”的约定。因此，一个条件一旦被接受，它所包含的较弱信息也被接受，滤子便向较弱的一侧闭合；完成一项新任务则要向更强的一侧寻找条件。采用相反顺序的文献会相应交换“向上”与“向下”的说法。

例子与边界

加入一个 Cohen 实数的力迫记为

\operatorname{Add}(\omega,1) =\operatorname{Fn}(\omega,2,{<}\omega).

条件 $p$ 是从自然数到 $\{0,1\}$ 的有限部分函数，顺序取反包含：

p\leq q\iff p\supseteq q.

空函数是最弱条件。若

p=\{(0,1),(3,0)\},\qquad q=\{(1,1)\},

则 $p\cup q$ 是共同加强，故二者相容；若 $r(0)=0$ ，则 $r\perp p$ 。两个有限函数相容，恰好意味着它们在公共定义域上取值一致；此时并集就是共同加强。

条件集及其顺序属于 $M$ ，使名字和力迫关系可以在 $M$ 内定义。泛型滤子是否已在 $M$ 中，则取决于预序的结构：若存在最强条件，它生成的滤子已经属于 $M$ ，扩张不增加新集合；若每个条件都能继续分裂成两个不相容的加强，即预序无原子，则 $M$ -泛型滤子一定不属于 $M$ 。

这里讨论的是集合力迫。真类力迫需要另行研究名字递归、力迫定理和公理保持所需的类理论与结构条件。在集合力迫内部，偏序的大小、链条件和闭性质用于分析哪些基数、共尾数与序列会在扩张中保持。

推论与应用

力迫预序一旦固定，稠密子集表达“无论当前走到哪里都能继续满足”的任务，泛型滤子则同时完成模型可见的所有这类任务。名字把潜在的新集合编码回 $M$ ，力迫关系在条件层面预测这些名字在扩张中的真值。

Cohen 力迫通过有限函数加入新实数；闭力迫可避免加入短序列；满足适当链条件的力迫可保存基数。相应的保持定理把这些组合条件与扩张中的行为联系起来。

两个预序若具有同构的 Boolean completion，就在力迫意义下等价，可以表示同一类泛型扩张。实际计算因而可以在有限条件、树、函数或 Boolean 代数表示之间切换；稠密嵌入及其诱导的 Boolean completion 同构，为这种切换提供依据。

参考资料

Dima Sinapova, MATH 512 Notes on Forcing，p. 1：无原子性与泛型滤子不属于地面模型。
Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003, Chapter 14, forcing notions and Boolean completions。
Kenneth Kunen, Set Theory, College Publications, 2011, Chapter IV, §§1–2, the forcing idea and generic extensions。
John L. Bell, Set Theory: Boolean-Valued Models and Independence Proofs, 3rd ed., Oxford University Press, 2005, Chapters 1–2。