力迫预序

力迫条件不是一个已经完成的新对象，而是有限或局部承诺。更强条件必须尊重旧承诺并补充信息；两个条件冲突，表示不存在同时兑现两份承诺的共同细化。泛型对象由一族彼此协调且不断加强的条件拼合而成。

顺序方向是纯约定，却会反转“滤子向上闭合”“稠密集向下可达”等表述。这里把更强写在更小一侧，是现代集合论常见约定。读到采用 $q\le p$ 表示 $q$ 更弱的资料时，必须整体反转所有序词，不能只改一句解释。

加入一个 Cohen 实数的力迫记为

条件 $p$ 是从自然数到 $\{0,1\}$ 的有限部分函数，顺序取反包含：

空函数是最弱条件。若

则 $p\cup q$ 是共同加强，故二者相容；若 $r(0)=0$，则 $r\perp p$。这不是换数字的演示：它逐项展示了“信息扩展”和“不一致承诺”怎样由函数包含精确实现。

并非每个偏序都适合目标。若预序有最小条件，泛型选择可能在该条件下退化而不加入新集合；若条件定义或顺序不属于 $M$，就无法在 $M$ 内定义名字与力迫关系。另一方面，$P\in M$ 不意味着希望得到的泛型滤子也在 $M$ 中；对非平凡力迫，泛型正是从外部加入的对象。

本条目只讨论集合力迫。若 $P$ 是真类，名字递归、力迫定理和公理保持都需要额外的类理论与驯服性假设，不能把集合版证明逐字照搬。偏序大小、链条件和闭性质也不是装饰参数：它们决定基数、共尾数与序列是否在扩张中保持。

力迫预序一旦固定，稠密子集表达“无论当前走到哪里都能继续满足”的任务，泛型滤子则同时完成模型可见的所有这类任务。名字把潜在的新集合编码回 $M$，力迫关系在条件层面预测这些名字在扩张中的真值。

Cohen 力迫通过有限函数加入新实数；闭力迫可避免加入短序列；满足适当链条件的力迫可保存基数。上述结论都必须从具体 $\mathbb{P}$ 的组合性质证明，不能只凭“它是力迫预序”推出。

不同但 forcing-equivalent 的预序可以产生同构的 Boolean completion 和相同类型的泛型扩张。实际计算常在有限条件、树、函数或 Boolean 代数表示之间切换；切换前必须给出稠密嵌入或完备嵌入，名称相似不构成等价证明。