泛型滤子

滤子是一条没有自相矛盾的决策历史：其中任意两份局部承诺还能共同加强。泛型性再要求这条历史不故意绕开基模型能描述的任何不可回避任务。它不是随机性，也不是“典型点”的概率陈述；它是对全部地面模型稠密集的确定性相交条件。

从外部枚举稠密集看，泛型对象是一场对角构造：第 $n$ 步完成第 $n$ 项任务，同时保留此前承诺。基模型自身通常看不到这份完整滤子，否则它会拥有本来用于扩张它的新对象。

对 Cohen 力迫，令

由于 $G$ 命中每个 $D_n=\{p:n\in \mathrm{dom}(p)\}$，$c:\omega \to 2$ 是总函数。给定地面模型中的实数 $r\in M\cap 2^{\omega }$，集合

稠密：总能在尚未承诺的位置写入与 $r$ 相反的位。泛型滤子命中 $E_r$，故 $c\ne r$。因此 $c\notin M$，这条证明同时追踪了“总”“新”两种性质分别来自哪些稠密任务。

外部可数不等于 $M$ 内部认为自己可数。用于枚举 $M$ 的映射不属于 $M$，否则 $M$ 会看到与自身 ZFC 判断冲突的枚举。Rasiowa–Sikorski 定理是在更大的元宇宙中构造 $G$；它不能在 $M$ 内部越过自己的全部稠密集完成同一对角过程。

无原子力迫的 $M$-泛型滤子必不属于 $M$：若 $G\in M$，则 $P\setminus G\in M$；对 $p\in G$，取两个不相容的加强，至少一个不在 $G$，而 $p\notin G$ 时直接取 $p$。所以 $P\setminus G$ 稠密，却与 $G$ 不交，矛盾。但这不是对所有预序的无条件断言：平凡力迫或有合适原子的锥可以在 $M$ 内已有泛型滤子。若 $M$ 外部不可数，简单的可数枚举法失效；泛型滤子仍可能在更大外模型中存在，但需要不同的模型构造，不能假装稠密集只有可数多个。

泛型滤子也不必命中外部宇宙后来出现的稠密集。若要求命中 全部 外部稠密子集，某些预序会因针对候选 $G$ 构造的对角稠密集而使要求不可能。正确量词始终是 $D\in M$。

同一基模型上通常有许多不同的泛型滤子；“泛型”规定的是必须完成哪些稠密任务，并不给出唯一选择。还要区分“分别泛型”与“相互泛型”：若 $G\subseteq \mathbb{P}$、$H\subseteq \mathbb{Q}$ 各自对 $M$ 泛型，并不保证二者组合后仍无隐藏关联。要把它们视为一次乘积扩张，通常须验证 $G\times H$ 对 $\mathbb{P}\times \mathbb{Q}$ 泛型；等价的迭代观点是先取 $G$，再要求 $H$ 对扩张后的 $M[G]$ 泛型。这一区别正是乘积力迫与迭代力迫中控制新对象相互依赖的入口。

给定 $M$-泛型 $G$，解释 $M$ 中全部力迫名得到扩张 $M[G]$。该扩张包含 $M$ 与 $G$，且是满足相应集合论公理的最小传递扩张。力迫定理把 $M[G]$ 中的真值还原为 $G$ 中某个条件的力迫断言。

泛型命中决定公式的稠密集，所以扩张里的每个句子最终由某个 $p\in G$ 决定；但不要求每个单独条件立即决定全部句子。滤子沿一个相容分支前进，稠密性保证它总能再走一步。

不同预序通过闭性、链条件或 properness 控制哪些地面基数、共尾数与短序列得到保留。若 $M\models \mathrm{ZFC}$，任意集合力迫扩张仍满足 ZFC，因而选择公理作为公理会保留；但某个旧良序、基数身份或组合性质是否保持，仍须结合具体 $\mathbb{P}$ 的结构证明。