力迫中的稠密子集

稠密集是一项无法永久逃避的任务：无论已经选择哪个条件，总有一种不推翻现有承诺的加强方式完成它。泛型滤子之所以能产生总函数、决定公式或避开旧对象，都是因为相应要求被编码成模型中的稠密集，并被泛型性逐一命中。

“稠密”不是拓扑中“每个开集相交”的字面借用，尽管二者通过偏序拓扑和 Boolean completion 有深刻联系。力迫定义只谈条件的可加强性；任务是否有意义取决于具体预序。

在 Cohen 力迫 $\mathrm{Fn}(\omega ,2,<\omega )$ 中，对每个 $n\in \omega$ 定义

给定任意有限条件 $p$，若它尚未定义 $n$，任选一位补上即可得到 $q\le p$ 且 $q\in D_n$；若已经定义，则取 $q=p$。所以 $D_n$ 稠密。滤子若命中全部 $D_n$，其条件并集就在每个自然数位置有值，成为总实数。

固定 $i\in \{0,1\}$ 后，

并不稠密：一个已承诺 $p(n)=1-i$ 的条件没有进入 $E_{n,i}$ 的相容加强。两者之并 $E_{n,0}\cup E_{n,1}=D_n$ 才稠密。这个边界说明稠密任务可以要求“作出决定”，不能预先要求所有分支给出同一个答案。

若 $M$ 是传递模型且 $D,\mathbb{P}\in M$，断言“$D$ 在 $P$ 中稠密”只含对 $P$ 的有界量词，通常在 $M$ 与外部宇宙间绝对。但“所有稠密子集”不绝对：外部宇宙可能拥有许多不属于 $M$ 的稠密集。$M$-泛型只需命中 $M$ 所拥有的那些集合。

最大反链与稠密集可以相互转换。最大反链 $A$ 的向下闭包稠密，泛型滤子至多取到一个互不相容的反链元素，并必须与其中某个元素相容。若偏序只在 $M$ 内被认为有某个最大反链，相关结论也应标明模型。

对任意力迫公式 $\phi$，能决定 $\phi$ 的条件通常形成稠密集：从任意 $p$ 出发，要么某个加强迫使 $\phi$，要么已有一个区域没有条件能迫使 $\phi$，从而可进一步迫使否定。泛型滤子命中这个稠密集后，扩张中的真值便由其中某个条件预测。

证明新对象具有某性质时，常把性质拆成一族稠密任务。例如 Cohen 实数的全定义性由 $D_n$ 保证；它不同于每个地面实数 $r$，则由“在某个坐标与 $r$ 分歧”的稠密集保证。任务族是否属于基模型、数量能否从外部枚举，决定 Rasiowa–Sikorski 构造能否实施。

稠密嵌入 $i:\mathbb{P}\to \mathbb{Q}$ 使每个 $q\in Q$ 都可加强到某个 $i(p)$，并保持次序与不相容性。这样的嵌入允许在两个条件表示之间传递泛型滤子；只存在任意单调映射则不够，因其可能漏掉不可回避的任务。