力迫中的稠密子集

稠密集是一项无法永久逃避的任务：无论已经选择哪个条件，总有一种不推翻现有承诺的加强方式完成它。泛型滤子之所以能产生总函数、决定公式或避开旧对象，都是因为相应要求被编码成模型中的稠密集，并被泛型性逐一命中。

这个定义也有拓扑解释：把向更强条件闭合的集合视为开集，每个条件 $p$ 的基本邻域就是 $\{q:q\le p\}$。$D$ 与每个这样的邻域相交，恰好等价于从任意 $p$ 都能加强到 $D$。因此这里的稠密性就是这一个向下开拓扑中的稠密子集理路稠密子空间Dense subspace · Dense subset闭包等于整个环境空间的子集，等价地与每个非空开集相交。性质；拓扑必须按上述次序方向指定。

在 Cohen 力迫 $\mathrm{Fn}(\omega ,2,<\omega )$ 中，对每个 $n\in \omega$ 定义

给定任意有限条件 $p$，若它尚未定义 $n$，任选一位补上即可得到 $q\le p$ 且 $q\in D_n$；若已经定义，则取 $q=p$。所以 $D_n$ 稠密。滤子若命中全部 $D_n$，其条件并集就在每个自然数位置有值，成为总实数。

固定 $i\in \{0,1\}$ 后，

并不稠密：一个已承诺 $p(n)=1-i$ 的条件没有进入 $E_{n,i}$ 的相容加强。两者之并 $E_{n,0}\cup E_{n,1}=D_n$ 才稠密。这个边界说明稠密任务可以要求“作出决定”，不能预先要求所有分支给出同一个答案。

若 $M$ 是传递模型且 $D,\mathbb{P}\in M$，断言“$D$ 在 $P$ 中稠密”只含对 $P$ 的有界量词，在 $M$ 与外部宇宙间绝对。但“所有稠密子集”不绝对：外部宇宙可能拥有许多不属于 $M$ 的稠密集。$M$-泛型只需命中 $M$ 所拥有的那些集合。

若 $A\in M$ 是最大反链，则 $A^{\downarrow }$ 是属于 $M$ 的稠密集。$M$-泛型滤子 $G$ 命中它后，包含某个 $q\le a$（$a\in A$）；由滤子向较弱条件闭合，$a$ 也属于 $G$。而滤子中的任意两条件相容，所以 $G$ 与 $A$ 恰好相交于一个元素。

在集合力迫中，对任意使用地面模型中名字作参数的公式 $\phi$，能决定 $\phi$ 的条件形成稠密集。从任意 $p$ 出发，若有 $q\le p$ 迫使 $\phi$，就取这个 $q$；若没有，按否定的力迫定义，$p$ 本身就迫使 $\mathrm{\neg }\phi$。泛型滤子命中这个稠密集后，扩张中的真值便由其中某个条件确定。

证明新对象具有某性质时，常把性质拆成一族稠密任务。例如 Cohen 实数的全定义性由 $D_n$ 保证；它不同于每个地面实数 $r$，则由“在某个坐标与 $r$ 分歧”的稠密集保证。任务族是否属于基模型、数量能否从外部枚举，决定 Rasiowa–Sikorski 构造能否实施。

稠密嵌入 $i:\mathbb{P}\to \mathbb{Q}$ 使每个 $q\in Q$ 都可加强到某个 $i(p)$，并保持次序与不相容性。这样的嵌入允许在两个条件表示之间传递泛型滤子；只存在任意单调映射则不够，因其可能漏掉不可回避的任务。