传递集

普通集合像一张只列直接部件的清单：清单中的对象可能还引用清单之外的零件。传递集则把所有向下追踪得到的零件一起收入。站在 $T$ 内看某个 $x\in T$ 时，不会出现“$x$ 有一个成员，但这个成员掉出论域”的情况。

这种封闭性是把集合本身当作结构论域时最自然的条件。它不要求向上封闭：即使 $x,y\in T$，集合 $\{x,y\}$ 也未必在 $T$；也不要求闭合于幂集、替换或其他 ZF 运算。因此传递集提供可靠的成员底座，却还远不是集合论模型。

每个 von Neumann 序数都是传递集。以

为例，$1$ 的唯一成员 $0$ 已经属于 $2$。每个累积层级 $V_{\alpha }$ 也传递：若 $x\in V_{\alpha +1}=\mathcal{P}(V_{\alpha })$，则 $x\subseteq V_{\alpha }\subseteq V_{\alpha +1}$；极限阶段由并保持该性质。

相反，$S=\{\{\varnothing \}\}$ 不传递，因为 $\{\varnothing \}\in S$ 且 $\varnothing \in \{\varnothing \}$，但 $\varnothing \notin S$。把缺少的对象补入便得到 $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}=2$。这个例子也显示“每个元素都是集合”毫无帮助——在纯集合论里本来所有对象都是集合，关键是成员是否留在论域。

传递性不等于序数性。集合 $V_3$ 传递，但 $\in$ 不在其上给出线性良序，所以它不是序数。传递性也不等于初等性：$V_{\omega }$ 是传递集，却看不到任何无限集合，因此不满足无穷公理；较高的 $V_{\alpha }$ 即使含有 $\omega$，也可能在幂集或替换上失败。

还要区分外部与内部判断。一个非标准模型 $M$ 可能在自己的关系 $E$ 下认为某对象“传递”，但若 $E$ 不是外部宇宙的真实 $\in$，这并不使其论域成为外部意义的传递集。只有论域真的是集合、关系真的是 $\in$ 的限制，才能直接使用这里的绝对性结论。

若 $M$、$N$ 都是传递类且包含同一参数，那么只含有界量词的 ${\mathrm{\Delta }}_0$ 公式在二者之间具有强绝对性：量词写成 $\mathrm{\forall }x\in a$ 或 $\mathrm{\exists }x\in a$ 时，候选元素不会逃出传递论域。一般无界存在量词则可能在大宇宙找到小论域没有的新见证，不能照此推断。

传递闭包让“研究 $x$ 所需的全部成员材料”成为集合。遗传有限、遗传可数等概念都把大小条件施加在传递闭包而非只施加在顶层对象上。Mostowski 坍缩定理进一步说明，任意良基且外延的集合关系都能唯一改写成某个传递集上的真实成员关系。

当传递集 $M$ 还满足指定集合论公理时，$(M,\in )$ 才成为传递模型。这个额外的满足条件不可省略：传递性保证语义对齐，公理闭包才保证内部可以进行目标数学。