力迫定理

力迫关系像一套在施工前写好的验收规则，泛型滤子选择一条完整施工路径，力迫定理保证两套读法完全一致：扩张完成后看到的每个事实，都能追溯到路径中某个有限条件；任何条件已经保证的事实，在所有尊重它的泛型完成品中都兑现。

这不是紧致性意义的“有限子集证明全部事实”。条件本身可以是有限对象，也可以很大；关键是它属于 $G$ 并在力迫递归中锁定公式。一个真命题可能没有被最弱条件决定，却总由实际泛型路径中的某个更强条件捕获。

对 Cohen 实数名 $\dot{c}$，扩张中若 $c(n)=1$，则 $G$ 中存在条件 $p$ 已写下 $p(n)=1$，且 $p⊩\check{n}\in \dot{c}$。反向若 $p\in G$ 迫使该成员关系，真值引理保证 $n$ 的确属于 $c$。局部位信息的对应是整个定理在原子层的可见缩影。

力迫定理不说每个条件决定每个句子。若 $p$ 尚未给 Cohen 实数第 $n$ 位赋值，它既不迫使位为零，也不迫使位为一；只是 $p$ 以下决定该位的条件稠密。也不能由定理推出泛型滤子存在于 $M$ 内部：定理以外部给定的 $M$-泛型 $G$ 为条件，非平凡 $G$ 通常正是 $M$ 所缺少的集合。

集合力迫保持序数。名字有良基秩，扩张中的任何所谓新序数都可沿名字解释还原为地面序数；不过基数可以改变，因为扩张可能加入旧序数间的新双射。要证明特定偏序保存基数，仍需闭性、链条件或 properness 等额外论证。

真类力迫是另一处边界。名字构造可能成为真类大小，替换模式、可定义性引理或真值引理可能失效；只有在 pretame、tame 等条件下才能恢复适当版本。集合力迫定理不能仅凭符号相同迁移过去。

力迫定理允许在 $M$ 中逐条验证 $M[G]$ 满足 ZFC。外延、配对等公理由规范名直接处理；分离和替换要利用力迫关系的可定义性与名字秩界；选择公理可通过名字和良序组织。因而集合力迫从 ZFC 模型产生另一个 ZFC 模型，而不是只造出一个带新实数的任意结构。

它也是所有保持与破坏证明的接口。若最弱条件迫使某句子 $\phi$，则每个泛型扩张都满足 $\phi$；若存在两个条件分别迫使 $\phi$ 与否定，就能选择经过相应条件的泛型扩张获得不同真值。CH 独立性正是把这种局部分叉扩大成两个满足同一基础理论的完整模型。

元数学上，使用可数传递模型便于看清对象，但完整相对一致性结论通过 Boolean-valued models、可数模型与良基片段或纯语法形式化获得。结论是“若基础理论一致，则扩展理论一致”，不是从无前提证明任何强理论一致。