形式陈述

集合外延性公理断言

$$ \forall A\,\forall B\left[\left(\forall x\,(x\in A\leftrightarrow x\in B)\right)\Rightarrow A=B\right]. $$$$\mathrm{\forall }A\mathrm{\forall }B[(\mathrm{\forall }x(x\in A\leftrightarrow x\in B))\Rightarrow A=B].$$

结合相等对象可相互替换的逻辑规则，可写成：两个集合相等当且仅当它们具有完全相同的元素。

直觉

集合没有除成员之外的隐藏状态；不存在两个“内部编号不同”但元素完全相同的集合。这使集合成为外延对象，而不是带插入顺序或存储地址的数据结构。

例子与边界

由外延性，$\{1,2\}=\{2,1\}$$\{1,2\}=\{2,1\}$。证明 $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ 时，可任选 $x$$x$，把两侧成员条件化为同一命题，再用外延性结束。外延性只给出相等判据，不单独保证空集、配对集或幂集存在。

推论与应用

外延性把大量集合恒等式转化为逐元素逻辑等价，是商构造、函数图像和形式化数学中最常用的判等原则之一。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §1。
• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003, Chapter 1。