集合外延性公理

外延性公理规定集合完全由成员决定：若两个集合拥有相同元素，它们就是同一个集合。集合没有隐藏的内部编号、标签、排列、插入顺序、存储地址或构造历史；同样元素以不同方式列出不会产生新集合。它把“元素相同”提升为证明集合相等的标准方法，也使集合成为典型的外延对象。

由外延性，$\{1,2\}=\{2,1\}$。证明 $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ 时，可任选 $x$，把两侧成员条件化为同一命题，再用外延性结束。外延性只给出相等判据，不单独保证空集、配对集或幂集存在。

要证明

任取 $x$。若 $x\in A$，按 $x\in B$ 与否分两种情况，分别落入 $A\cap B$ 或 $A\setminus B$；反向包含由两部分定义立即得到。于是两侧具有完全相同的元素，外延性给出集合相等。外延性比较成员，不比较表达式、生成顺序或重复书写；它也不单独保证这些运算构造出的集合存在，存在性来自其他集合论公理。

集合公理库集合Set由成员完全决定的数学对象；成员关系给出集合的内容，额外结构须另行指定。的相等由外延性控制，子集公理库子集Subset · Set inclusionA 的每个元素都属于 B 时成立的包含关系；它在集合之间形成偏序。关系给出常用判据 $A=B⟺A\subseteq B\wedge B\subseteq A$。它把大量集合恒等式化为逐元素的逻辑等价公理库逻辑等价Logical equivalence两个公式在指定语义类的每个结构与赋值下具有相同真值。或双向包含；函数图像、关系、商类和形式化数学中的判等都反复使用这一原则。