形式陈述

项是有限个文字的合取；析取范式（DNF）是有限个项的析取：

$$ \bigvee_{i=1}^m\left(\bigwedge_{j=1}^{k_i}\ell_{ij}\right). $$$$\underset{i=1}{\overset{m}{\bigvee }}\left(\underset{j=1}{\overset{k_i}{\bigwedge }}{\ell }_{ij}\right).$$

每个命题公式都与某个 DNF 逻辑等价。规范完全 DNF 可从真值表构造：对每个使公式为真的赋值，写一个包含所有变量、与该赋值一致的 minterm，再把这些 minterm 析取。该表示可能有指数多个项，通常还可用吸收律和布尔化简删除冗余。

直觉

DNF 是“若干种足以成功的完整情形任选其一”：每个项列出一组必须同时成立的条件，外层析取允许多种方案。

例子与边界

$(p\land q)\lor(\neg p\land r)$$(p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge r)$ 是 DNF。$p\land(q\lor r)$$p\wedge (q\vee r)$ 分配为 $(p\land q)\lor(p\land r)$$(p\wedge q)\vee (p\wedge r)$。含 $p$$p$ 与 $\neg p$$\mathrm{\neg }p$ 的项永远为假，可删除。空项是空合取，表示真；空析取表示假。显式 DNF 的可满足性只需检查是否存在不含互补文字的项，但从任意公式生成小 DNF 可能不可能。

推论与应用

DNF 表达规则列表、决策条件和布尔函数的“成功证书”。它与 CNF 对偶，并可通过对否定使用 De Morgan 律相互转换。

参考资料

• Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8th ed., McGraw-Hill, 2019，§1.3, disjunctive normal form from truth tables。
• Herbert B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, 2nd ed., Academic Press, 2001，§1.5, Corollary 15C, disjunctive normal form。