拓扑流形

坐标图是一张局部地图：它允许在 $U$ 内用 $n$ 个实数标记点，却不要求一张地图覆盖整个空间。球面每块小区域都像平面，但任何单张平面图都要在某处断开；环面也处处像平面，却有与球面不同的全局回路。流形理论研究的正是“局部模型完全统一，全局粘接仍可不同”。

局部欧氏性本身还不够。Hausdorff 条件保证不同点能由不相交邻域分开，使极限具有唯一性，并排除把两份欧氏空间沿几乎全部区域粘合而留下不可分点的病态例子。第二可数性提供一套可数基；结合局部欧氏性，它带来可分性、可数图册、$\sigma$-紧性以及常用的可度量化和仿紧性结论。许多分割单位和全局拼接论证都依赖这些可数性后果。

边界不是把流形任意画在纸上后看到的轮廓，而是由半空间局部模型内在定义的。闭圆盘的圆周是边界，尽管换一种嵌入形状仍是同一边界；球面嵌在三维空间里看似有“内外两侧”，作为二维流形却没有边界，因为每点邻域都同胚于 ${\mathbb{R}}^2$ 的开集。

$S^1$ 是一维无边界流形：删去圆上任一点后得到一条可作坐标的开弧。$S^2$ 可由南、北极立体投影坐标覆盖，是二维无边界流形。闭圆盘 $D^2$ 的内部点有平面邻域，圆周上的点只有半平面邻域，因此它是带边界二维流形且 $\partial D^2=S^1$。这些空间可以嵌入欧氏空间帮助观察，但抽象定义并不预先要求某个嵌入。

闭区间 $[0,1]$ 是带边界一维流形，边界为两个端点。数字“8”或两条坐标轴组成的十字在交点处不是一维流形：足够小的邻域删去交点后分别留下四个连通分支，而开区间删去一点只有两个局部分支。这个局部不变量排除了任何可能的坐标同胚。

“有两个原点的直线”由两份 $\mathbb{R}$ 把除原点外的对应点粘合得到。每个点仍有实线型邻域，空间也第二可数，但两个原点无法由不相交开集分离，所以它不是本条约定下的流形。另一个方向上，不可数多份实线的不交并是 Hausdorff 且局部一维，却没有可数基；第二可数条件把这种不可控的分量族排除。这两个例子分别说明两个全局公理都不是装饰。

拓扑图册不会自动给出导数。加入重叠坐标变换的 $C^{\mathrm{\infty }}$ 相容性才得到光滑流形公理库光滑流形Smooth manifold坐标图之间转移映射光滑的拓扑流形。；度量、定向、复结构和辛结构又是后续附加数据。即使底层拓扑空间相同，不同附加结构也可能不等价，不能在拓扑流形定义中提前使用切向量或光滑函数。

Hausdorff 性公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。、第二可数性与局部欧氏同胚公理库同胚Homeomorphism自身与逆映射都连续的双射，给出两个拓扑空间之间可逆的开集翻译。共同定义拓扑流形：前两项控制全局可管理性，最后一项提供局部维数和坐标。它们还使每个流形拥有可数图册，并允许把局部构造通过局部有限细化拼成全局对象。

当 $n\ge 1$ 时，带边界 $n$ 维流形的边界本身是无边界的 $(n-1)$ 维流形；在 $n=0$ 的半空间约定下边界为空，不需要引入负维流形。内部 $M\setminus \partial M$ 始终是无边界 $n$ 维流形。曲面分类、结与三维流形、高维手术和拓扑不变量都从同一局部模型出发，却通过不同的全局粘接区分空间。进入光滑流形后才能系统定义切丛、微分形式与积分，本条不替代那一层结构。