形式陈述

$n$$n$ 维拓扑流形通常定义为一个 Hausdorff、第二可数的拓扑空间 $M$$M$，使每个点都有邻域同胚于 $\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 的开子集。允许边界时，局部模型改为半空间 $\mathbb H^n=\{x_n\ge0\}$${\mathbb{H}}^n=\{x_n\ge 0\}$ 的相对开子集。局部同胚称为坐标图；相互覆盖的图构成图册。维数在每个非空连通分量上由拓扑唯一确定。拓扑流形本身不含可微结构、度量或嵌入。

直觉

整体空间可以弯曲、闭合或有洞，但放大观察任一点时都像普通 $n$$n$ 维欧氏空间；Hausdorff 和第二可数排除病态的局部分支与过大拓扑。

例子与边界

圆 $S^1$$S^1$ 是一维无边界流形，球面 $S^2$$S^2$ 是二维流形，闭圆盘是带边界二维流形。数字“8”形在交叉点附近不像开区间，不是一维流形。不同拓扑流形可有相同局部模型而全局不同。嵌在 $\mathbb R^m$${\mathbb{R}}^m$ 中的良好曲面是例子，但抽象流形定义不要求预先嵌入某个欧氏空间。

推论与应用

流形是代数拓扑、微分几何和广义相对论的底层空间。加入相容光滑图册得到光滑流形，再可定义切空间、微分形式和曲率。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 0, manifolds as local Euclidean spaces。
• John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds, 2nd ed., Springer, 2011，Chs. 1–2, topological manifolds, charts, and boundary。