Hausdorff 空间

$T_1$ 允许分别排除另一个点，Hausdorff 要求一次把两个点放进互不相交的观察窗口。这项“同时分离”保证局部观测不会把两个不同候选极限永久混在一起。

Hausdorff 性不制造极限，只负责排除多重极限。紧致性常与它搭配：紧致从任意网中抽出收敛子网，Hausdorff 再保证已获得的极限不会有歧义。

分离公理只谈点和邻域，并不控制覆盖规模、连通性或可数基。拥有清晰可分辨的点，不意味着空间紧、连通或可度量。

每个度量空间都是 Hausdorff。若 $x\ne y$，令 $r=d(x,y)/3$，则 $B_r(x)$ 与 $B_r(y)$ 不交；否则取交点 $z$，三角不等式会给

矛盾。

无限集合上的余有限拓扑是 $T_1$，却不是 Hausdorff。任意两个非空开集的补集都有限，它们的交不可能为空；因此不同点虽能分别从某个邻域中排除对方，却无法同时用不交邻域分开。

双原点直线提供几何化反例。把两份实线的对应非零点识别，保留两个原点。每个原点都是闭点，但它们的任何邻域都会在被识别的非零部分相交，所以空间 $T_1$ 而非 Hausdorff。

Hausdorff 不推出紧致：$\mathbb{R}$ 是 Hausdorff 而不紧。它也不推出连通或不连通：$\mathbb{R}$ 连通，二点离散空间不连通，两者都 Hausdorff。紧致、连通和分离性控制不同问题，不能排成一条一般蕴含链。

商空间可能丢失 Hausdorff 性，即使原空间 Hausdorff。双原点直线正由 Hausdorff 空间的商得到。反之，子空间与任意积会继承 Hausdorff 性；对积空间，两个不同点总能在某个坐标被分离。

Hausdorff 空间中的紧子集闭。给 $y\notin K$，对每个 $x\in K$ 取不交邻域 $U_x\ni x$、$V_x\ni y$。由 $K$ 紧公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。，有限多个 $U_{x_1},\dots ,U_{x_n}$ 已覆盖 $K$；于是

是 $y$ 的邻域，并与覆盖 $K$ 的 $U_{x_1}\cup \cdots \cup U_{x_n}$ 不交。故 $X\setminus K$ 开。

这条定理给出连续双射升级判据：若 $X$ 紧、$Y$ Hausdorff，则连续双射 $f:X\to Y$ 是闭映射，因而是同胚。若定义域不紧或陪域不 Hausdorff，结论都可能失败。

若 $f:X\to Y$ 连续且 $Y$ Hausdorff，其图

在 $X\times Y$ 中闭。对图外点 $(x,y)$，分离 $f(x)$ 与 $y$，再把 $f(x)$ 的邻域拉回 $X$，即可得到避开图的乘积开邻域。这是对角线闭刻画经映射拉回后的版本。

在收敛公理库拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入候选极限的每个邻域时所定义的一般拓扑收敛。问题中，Hausdorff 只给唯一性：网可能根本没有极限，紧空间中的网也只保证存在收敛子网。若空间同时紧且 Hausdorff，每个超滤子有唯一极限，但普通网仍可能有多个不同极限的子网。

正则空间进一步分离点与闭集，正规空间再分离两个闭集。采用本库把 $T_1$ 纳入正则、正规定义的约定时，有

逆向一般都需要额外假设，不能从 Hausdorff 直接推出更强的分离性质。