公理与理论库定义

Hausdorff 空间

Hausdorff space · T2 space

任意两个不同点都可被不交开邻域分离的空间。

形式陈述

拓扑空间 $X$ $X$ 称为 Hausdorff 空间（或 $T_2$ $T_{2}$ 空间），若对任意不同点 $x\ne y$ $x \neq y$ ，存在开集 $U,V$ $U, V$ 满足

$$ x\in U, \qquad y\in V, \qquad U\cap V=\varnothing. $$

x \in U, y \in V, U \cap V = \emptyset .

直觉

Hausdorff 条件要求不同点能够被互不重叠的局部观察区域区分。它排除了两个不同点在拓扑上永远“粘在一起”的情形。

例子与边界

所有度量空间都是 Hausdorff：取半径小于 $d(x,y)/2$ $d (x, y) / 2$ 的球即可。含至少两个点的平凡拓扑不是 Hausdorff。Hausdorff 不意味着可度量，也不意味着紧致或连通；这些是独立性质。

推论与应用

Hausdorff 空间中的收敛序列至多有一个极限，紧子集必为闭集；若 $f:X\to Y$ $f : X \to Y$ 连续且 $Y$ $Y$ 为 Hausdorff 空间，则其图

$$ \Gamma_f=\{(x,f(x)):x\in X\} $$

Γ_{f} = {(x, f (x)) : x \in X}

在 $X\times Y$ $X \times Y$ 中闭。连续双射从紧空间到 Hausdorff 空间时自动成为同胚。

参考资料

James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§31。
Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Chapter 5 (separation axioms)。