正则空间

Hausdorff 性公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。只要求分开两个点，正则性要求一个点能避开整个闭集。闭集可能无限，逐个分开其中的点再作无穷交，并不能保证交集仍是开邻域；正则性提供一次完成的分离。

邻域收缩把这个要求变成局部操作：给点留下一块开空间，同时使其闭包仍不碰到外部障碍。这是控制局部构造支撑范围的基本手段，但仅凭正则性不能推出任意单位分解或所有连续函数分离结论。

每个度量空间正则。设 $F$ 非空且闭，$x\notin F$。因为补集开，存在 $r>0$ 使 $B(x,r)\cap F=\varnothing$，所以

取 $U=B(x,\delta /3)$ 及 $V=\{y:d(y,F)<\delta /3\}$。距离函数连续，故两者开；若 $y\in U\cap V$，则 $\delta \le d(x,y)+d(y,F)<2\delta /3$，矛盾。这里无需存在实现下确界的最近点。$F=\varnothing$ 时直接取 $U=X,V=\varnothing$。

Sorgenfrey 直线以 $[a,b)$ 为基；这些基本开集同时闭，因此可直接完成邻域收缩。它甚至正规，但它与自身的积，即 Sorgenfrey 平面，是正则而不正规的经典例子。正则的点—闭集分离不能自动升级为两闭集分离。

部分文献把不含 $T_1$ 的分离性质也叫 regular。二点不可分拓扑只有 $\varnothing ,X$ 两个开集，它满足邻域收缩，却不是 $T_1$，也不是 Hausdorff；因此不能从不带分离假设的收缩公式直接推出本库的正则性。

正则空间是 Hausdorff 空间：不同点 $x,y$ 中，$\{y\}$ 由 $T_1$ 为闭，对 $x$ 与 $\{y\}$ 分离即可。正规空间公理库正规空间Normal space满足 T1，且任意两个不交闭集都可由不交开集分离的空间。则能分离任意两个不交闭集，所以在同一 $T_1$ 约定下必正则。

正则性可传给任意子空间。若 $Y\subseteq X$，且 $W=Y\cap O$ 是 $y$ 在 $Y$ 中的开邻域，在 $X$ 中取 $y\in U\subseteq {\bar{U}}^X\subseteq O$，便有 ${\overline{Y\cap U}}^Y\subseteq Y\cap {\bar{U}}^X\subseteq W$。正规性一般没有这种遗传性。正则性与第二可数性结合还通向 Urysohn 可度量化定理；局部紧 Hausdorff 空间的正则性也常用邻域收缩来证明。