正则空间

形式陈述 ​

本库采用 $T_3$ 约定：拓扑空间 $X$ 称为正则空间，若它满足 $T_1$，并且对任意闭集 $F\subseteq X$ 与点 $x\notin F$，存在不交开集 $U,V$ 使

$$x\in U,F\subseteq V,U\cap V=\varnothing .$$

等价地，对任意点 $x$ 及其开邻域 $W$，存在开集 $U$ 满足

$$x\in U\subseteq \bar{U}\subseteq W.$$

等价性的一个方向取 $F=X\setminus W$；另一个方向用闭集补集恢复两侧开分离。

直觉 ​

Hausdorff 只分开两个点，正则性则把其中一侧升级为整个闭集。它保证每个点的邻域都能“向内缩一层”，让闭包仍留在原邻域中；这个闭包控制是构造局部函数、局部紧化和分割单位时的基本工具。

正则与正规只差一个字，却量化不同对象：正则分离“点—闭集”，正规分离“闭集—闭集”。二者不能混写。

例子与边界 ​

每个度量空间正则。给定 $x\notin F$，距离 $d(x,F)>0$ 未必在任意度量空间都取到，但可用

$$U=\{y:d(x,y)<\frac{1}{3}d(x,F)\}$$

与围绕 $F$ 的适当开邻域分离。

Sorgenfrey 直线是正则且正规；某些正则 Hausdorff 空间并不正规，说明点—闭集分离不能自动升级为两任意闭集分离。部分教材把不含 $T_1$ 的点—闭集分离性质也称“regular”；使用此约定时必须另外检查 $T_1$。

推论与应用 ​

正则空间在本库约定下自动是Hausdorff 空间公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都可被不交开邻域分离的 T2 空间。：对不同点 $x,y$，单点 $\{y\}$ 由T1公理库T1 空间T1 space · Fréchet space每个单点集都闭，等价地任意一点都可由邻域排除另一个点的空间。 为闭，再应用点—闭集分离。正规空间公理库正规空间Normal space满足 T1，且任意两个不交闭集都可由不交开集分离的空间。则进一步分离两闭集，并因此是正则空间。

邻域收缩刻画用于证明局部紧 Hausdorff 空间正则、构造连续函数以及控制闭包。正则性对任意子空间可继承；正规性一般不能，这也是两层公理在拓扑构造中的重要差别。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000, §31.
• Stephen Willard, General Topology, Dover, 2004, Chapter 6.
• John L. Kelley, General Topology, Springer, 1955, Chapter 5.