T1 空间

$T_1$ 让单个点成为可用闭条件指定的对象。它消除了“无论怎样靠近 $x$，总不得不同时包含另一个固定点 $y$”的情形，但不保证两点的整片邻域能彼此避开。

Hausdorff 条件公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都能放入互不相交开邻域的 T2 分离空间。要求一对不交邻域，因此更强。常值序列 $x,x,\dots$ 在 $T_1$ 空间只能收敛到 $x$：对 $y\ne x$，开邻域 $X\setminus \{x\}$ 已阻止它收敛到 $y$。一般变化的序列却仍可能有多个极限。

度量空间是 $T_1$：若 $x\ne y$，半径小于 $d(x,y)$ 的 $x$ 中心球排除了 $y$。事实上取半径 $d(x,y)/3$ 能得到不交球，故它们甚至 Hausdorff。

无限集合 $X$ 上的余有限拓扑规定：空集和补集有限的集合开放。单点补集开放，所以它是 $T_1$；两个非空开集的交仍余有限且非空，所以它不是 Hausdorff。在 $X=\mathbb{N}$ 时，序列 $1,2,3,\dots$ 收敛到每个自然数，因为每个余有限邻域都包含它的一个尾段。

同一例子也说明紧集未必闭。偶数集 $E\subset \mathbb{N}$ 带有余有限子空间拓扑；任意开覆盖先选一个非空成员，只剩有限多个点，再逐点补选便得到有限子覆盖，所以 $E$ 紧。但 $E$ 无限且非全空间，不是余有限拓扑中的闭集。

至少含两个点的平凡拓扑不是 $T_1$。有限 $T_1$ 空间则必离散：任意子集是有限个闭单点的并，因此闭，其补集也闭，故任意子集同时开。无限余有限空间表明有限性不能删除。

有限点集在 $T_1$ 空间中总闭，故从开集删去有限个点仍开。这还给出聚点公理库聚点Limit point · Accumulation point每个邻域都含有集合中不同于该点的元素的点。的实用判据：若 $x$ 是 $A$ 的聚点，每个 $x$ 的邻域必须含无穷多个 $A$ 中点；否则删掉其中有限多个非 $x$ 的点，就得到不再碰到 $A\setminus \{x\}$ 的邻域，矛盾。

采用包含 $T_1$ 的命名约定时，正则空间和正规空间分别称为 $T_3$、$T_4$。少数文献把 $T_1$ 称为 Fréchet 空间；这不同于泛函分析中的完备可度量局部凸 Fréchet 空间，不能仅凭同名转移结论。