T1 空间

形式陈述 ​

拓扑空间 $X$ 称为 $T_1$ 空间，当且仅当每个单点集 $\{x\}$ 都是闭集公理库闭集Closed set补集为开集的集合。。等价地，对任意不同点 $x\ne y$，都存在开集公理库开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续与内部的基本单位。 $U,V$，使

$$x\in U,y\notin U,y\in V,x\notin V.$$

这里不要求 $U$ 与 $V$ 不交。

另一个等价刻画是：对每个 $x\in X$，

$$\bigcap \{U:U\text{ 是 }x\text{ 的开邻域}\}=\{x\}.$$

因此拓扑可以通过全部邻域把每一点与所有其他点逐一分辨，但未必能同时给一对点找到不交邻域。

直觉 ​

$T_1$ 是“点可被当作闭条件处理”的最低常用分离公理。它排除了某个点永久黏在另一个点的所有邻域中的情形，却仍允许两点的任意邻域相交。

把“分别排除”与“同时分开”区分开很重要：前者是 $T_1$，后者是 Hausdorff。许多极限唯一性和紧集闭性结论需要后者，不能只凭单点闭推出。

例子与边界 ​

每个度量空间都是 $T_1$。无限集合上的余有限拓扑也满足 $T_1$，因为单点补集是余有限开集；但任意两个非空开集都相交，所以它不是 Hausdorff。

至少含两个点的平凡拓扑不是 $T_1$，因为单点集通常不闭。有限 $T_1$ 空间必为离散空间：每个单点闭，有限并给出任意集合闭，因而任意集合也开；无限空间中这一结论不成立。

推论与应用 ​

单点闭公理库闭集Closed set补集为开集的集合。是 $T_1$ 的定义。Hausdorff 空间公理库Hausdorff 空间Hausdorff space · T2 space任意两个不同点都可被不交开邻域分离的 T2 空间。一定是 $T_1$，但余有限拓扑说明逆命题失败。采用包含 $T_1$ 的命名约定时，正则空间与正规空间分别对应 $T_3$ 与 $T_4$。

在 $T_1$ 空间中，有限集闭；因此删除有限点得到开集。序列收敛仍可能不唯一，紧子集也不一定闭，这些更强结论需要额外的 Hausdorff 条件。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000, §31.
• Stephen Willard, General Topology, Dover, 2004, Chapter 5.
• John L. Kelley, General Topology, Springer, 1955, Chapter 3.