聚点

聚点要求每个邻域都含有集合中另一个点，所以它描述集合在该处无法被局部孤立。点本身是否属于集合无关：聚点可以是集合外缺失的极限，也可以是集合内的非孤立点。闭包等于集合并上所有聚点，但在非 $T_1$ 空间中相关表述需谨慎处理“另一个点”的单点闭性。

$A=\{1/n:n\ge 1\}\subset \mathbb{R}$ 的唯一聚点是 $0$，但 $0\notin A$。孤立点 $1/n$ 属于 $A$ 却不是聚点。有限集在 Hausdorff/T1 空间中没有聚点；在非 T1 空间中这一结论可失败。序列中某个值无限重复并不能自动说明它是序列取值集合的聚点，因为定义排除了点本身。用序列刻画聚点在第一可数空间中成立；一般拓扑需要网或滤子，单靠序列可能漏掉闭包点。

区间 $(0,1)$ 的每个内部点以及端点 $0,1$ 都是其聚点，说明聚点无需属于集合。常值序列虽然收敛到其常值，却不能据此把该点判为取值集合的聚点：取值集合只有一个点，邻域中没有“另一个”集合点。这个区别防止把序列的重复次数误当成集合的局部累积。

邻域定义聚点，集合的闭包公理库内部、闭包与边界Interior, closure, and boundary集合的最大开子集、最小闭超集及二者确定的边界。由原集合与聚点组成。第一可数空间公理库第一可数空间First-countable space每一点都有可数邻域基的拓扑空间。中，$x$ 是 $A$ 的聚点通常可构造 $A\setminus \{x\}$ 中序列趋于 $x$；闭集公理库闭集Closed set补集开放的子集；等价地，它包含拓扑能够检测到的全部闭包点。则恰好包含全部聚点。紧致性中的 Bolzano–Weierstrass 性质用聚点控制无限子集，派生集迭代则进一步用于 Cantor–Bendixson 分解。