聚点

闭包问“每次靠近是否都会遇见集合”，聚点还加上“不能只遇见点自身”。因此集合里的孤立点属于闭包却不是聚点；集合外的聚点则显示数据缺失了一个无法用邻域隔开的边缘位置。

“任意小邻域”是拓扑语言，不预设距离，也不预设存在一列邻域能够代表所有邻域。集合只记录不同的元素，不记录它们在序列里出现多少次，所以序列无限次重复一个值不能替代邻域中出现另一个集合点。

在通常实线中，$A=\{1/n:n\ge 1\}$ 的唯一聚点是 $0$。任意含 $0$ 的开区间都包含足够大的 $n$ 对应的 $1/n$；每个 $1/n$ 却可选小区间与相邻两项分开。对不在 $A\cup \{0\}$ 的点，也可选邻域避开 $A$，所以没有其他聚点。相反，$(0,1{)}^{\prime }=[0,1]$，包含内部点及两个不属于原集合的端点。

在 $T_1$ 空间理路T1 空间T1 space · Fréchet space每个单点集都闭，等价地任意一点都可由邻域排除另一个点的空间。中，聚点的每个邻域都含 $A$ 的无限多个不同点。若某个邻域只交于有限多个 $y_1,\dots ,y_k$（都不同于 $x$），删去这些闭单点仍留下 $x$ 的邻域，却不再遇到 $A\setminus \{x\}$，矛盾。由此有限集在 $T_1$ 空间没有聚点；Hausdorff 是足够但非必要的更强假设。

这一无限性不能搬到一般空间。令 $X=\{0,1\}$，开集为 $\varnothing ,\{1\},X$，取 $A=\{1\}$。点 $0$ 的唯一开邻域是 $X$，故 $0\in A^{\prime }$，尽管 $A$ 只有一个点。常值序列 $1,1,\dots$ 在这里甚至收敛到 $0$，同时 $1$ 不是 $A$ 的聚点；聚点与序列极限都必须结合所用拓扑理解。

在第一可数空间理路第一可数空间First-countable space每一点都有可数邻域基的拓扑空间。中，取 $x$ 的递减邻域基 $B_n$，则

正向逐项选 $a_n\in B_n\cap (A\setminus \{x\})$ 即可，反向由收敛定义得到每个邻域都有这样的点。若再有 $T_1$，每一步还可删掉先前选过的有限个点，保证各项互异；没有 $T_1$ 时不应额外要求互异。

闭包理路内部、闭包与边界Interior, closure, and boundary集合的最大开子集、最小闭超集及二者确定的边界。与聚点的关系给出闭集理路闭集Closed set补集开放的子集；等价地，它包含拓扑能够检测到的全部闭包点。的局部判别。一般空间中序列可能无法探测所有闭包点，需要网或滤子。紧致性研究利用无限集合的聚点控制逃逸；反复取导集则通向 Cantor–Bendixson 分解，但有关分解的完整结论须另加空间假设。