形式陈述

设 $A\subseteq X$$A\subseteq X$。点 $x\in X$$x\in X$ 称为 $A$$A$ 的聚点（极限点），若每个 $x$$x$ 的邻域都与 $A\setminus\{x\}$$A\setminus \{x\}$ 相交。聚点全体称导集 $A'$$A^{\prime }$。按这一“删去自身”的定义，在任意拓扑空间中都有

$$ \overline A=A\cup A', $$$$\bar{A}=A\cup A^{\prime },$$

所以 $A$$A$ 闭当且仅当它包含全部聚点。若空间为 $T_1$$T_1$，则 $x$$x$ 是聚点还等价于每个邻域都含 $A$$A$ 的无限多个点；这一无限性刻画在一般拓扑中会失败。

直觉

聚点是集合在任意小局部范围内都还有“别的点”出现的位置；它反映无限靠近，而不要求聚点本身属于集合。

例子与边界

$A=\{1/n:n\ge1\}\subset\mathbb R$$A=\{1/n:n\ge 1\}\subset \mathbb{R}$ 的唯一聚点是 $0$$0$，但 $0\notin A$$0\notin A$。孤立点 $1/n$$1/n$ 属于 $A$$A$ 却不是聚点。有限集在 Hausdorff/T1 空间中没有聚点；在非 T1 空间中这一结论可失败。序列中某个值无限重复并不能自动说明它是序列取值集合的聚点，因为定义排除了点本身。用序列刻画聚点在第一可数空间中成立；一般拓扑需要网或滤子，单靠序列可能漏掉闭包点。

推论与应用

聚点用于闭集判定、紧致性、Bolzano–Weierstrass 性质和集合的 Cantor–Bendixson 分析；它把局部邻域结构转化为集合累积行为。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§17, limit points and closure。
• Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, 2004，Ch. 3, adherence and accumulation points。