Bolzano–Weierstrass 定理

把无穷多个序列项塞进一个有界区域，它们即使不断振荡，也不可能永远彼此保持距离，某处必然发生“堆积”。$d=1$ 的经典证明把这个鸽笼直觉精确化：将区间对半分，至少一半含有无穷多个序列项；对这一半继续二分，得到长度趋零的嵌套区间列，再从中依次挑选下标递增的项，就得到越来越靠近的收敛子列。嵌套区间真正收拢到一个实数点，靠的是实数完备性；高维情形则对每个坐标逐次抽取子列。因此有界性负责“挤压”，完备性保证堆积点确实存在，而欧氏空间的有限维性保证坐标抽取能在有限步内完成，三者都不能随意忽略。在 $\mathbb{Q}$ 中照样二分，区间套却可能收向一个无理数；在无限维空间里，有界列也可能没有范数收敛子列。定理只保证至少存在一个收敛子列或聚点，并不保证原序列收敛，也不保证不同子列的极限唯一。

序列 $(-1{)}^n$ 不收敛，但偶数项子列恒为 $1$、奇数项子列恒为 $-1$，各自收敛：定理保证收敛子列存在，不保证子列极限唯一，更不保证原序列收敛。反过来，有界也不是必要条件：无界序列 $0,1,0,2,0,3,\dots$ 照样有收敛子列（取那些 $0$）。

无穷维是硬边界。在 Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。 ${\ell }^2$ 中，标准正交列 $(e_n)$ 有界（范数全为 $1$），但任意两项距离为 $\sqrt{2}$，任何子列都不是 Cauchy 列，因而没有范数收敛子列。"有界集中可抽收敛子列"是有限维专属的奢侈品；无穷维分析必须改用弱收敛、紧算子等替代机制。

完备性同样不可移除：在 $\mathbb{Q}$ 中取 $\sqrt{2}$ 的十进逼近 $1,1.4,1.41,1.414,\dots$，它有界，且每个子列在 $\mathbb{R}$ 中都收敛到同一个 $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$，故它在 $\mathbb{Q}$ 内没有任何收敛子列。

本定理是有限维分析中紧性论证的发动机，并可由单调收敛序列等实分析基础推出。配合 Heine–Borel 定理公理库Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。，它把 ${\mathbb{R}}^d$ 中的闭有界性与序列紧致性连接起来：集合中的每个序列都有收敛于集合内的子列，当且仅当集合闭且有界。连续函数在闭有界集上取得最大值和最小值的 极值定理公理库极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。，标准证明正依靠这种子列抽取。它还证明 Cauchy 列公理库柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。在 ${\mathbb{R}}^d$ 中必收敛：Cauchy 列先由有界性抽出收敛子列，随后整列被 Cauchy 条件拖向同一极限。在优化、逼近与一般存在性证明中，可以从有界极小化序列抽取候选极限；积分逼近与概率紧性也反复使用同一机制，而 紧空间公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。正是把这种“总能抽出收敛子列”的现象提升为更一般的拓扑结构。