Bolzano–Weierstrass 定理

把无穷多个序列项放进一个有界区间，可以不断缩小搜索范围。将区间对半分，至少一半仍含有无穷多个序列项；对这一半继续二分，得到长度趋零的嵌套闭区间。实数完备性保证它们交于一点。在第 $k$ 个区间中选一个下标比上次更大的项，就得到收敛到该点的子列。

在 ${\mathbb{R}}^d$ 中，先为第一坐标抽取收敛子列，再从中为第二坐标抽取子列，依次进行 $d$ 次。后续抽取保留已有坐标的收敛性，最终所有坐标同时收敛。有限维使这个过程在有限步内完成。

序列 $(-1{)}^n$ 的偶数项恒为 $1$、奇数项恒为 $-1$，得到两个极限不同的收敛子列。抽取子列相当于选择一种趋近方式，原序列仍可以在它们之间振荡。无界序列 $0,1,0,2,0,3,\dots$ 也有常值为零的子列；有界性保证每个序列都能抽取成功，而某些无界序列同样可以做到。

在无限维 Hilbert 空间理路Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。 ${\ell }^2$ 中，标准正交列 $(e_n)$ 的范数都为 $1$，任意两项的距离却为 $\sqrt{2}$。因此任何子列都不是 Cauchy 列，也就没有范数收敛子列。单位球中的点可以沿着新的坐标方向不断分散，这正是有限维抽取证明在此失效的原因。

在 $\mathbb{Q}$ 中取 $\sqrt{2}$ 的十进制截断 $1,1.4,1.41,1.414,\dots$。它有界，每个子列在 $\mathbb{R}$ 中都趋向 $\sqrt{2}$；这个极限不属于 $\mathbb{Q}$，所以它在有理数空间内没有收敛子列。

配合 Heine–Borel 定理理路Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。，子列抽取把 ${\mathbb{R}}^d$ 中的闭有界性与序列紧致性联系起来：有界性提供收敛子列，闭性让极限留在集合内。在度量空间中，这种序列性质等价于紧致性理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。。

对于 ${\mathbb{R}}^d$ 中非空闭有界集上的连续实函数，函数值首先有界：否则可选 $|f(x_n)|>n$，而收敛子列及连续性会给出有限的函数值极限，产生矛盾。再取一列函数值逼近下确界的点，从中抽取收敛子列。连续性把函数值的极限传到极限点，便得到最小值点；最大值同理。这是极值定理理路极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。的子列证明，也是优化中处理极小化序列的基本方法。

每个 Cauchy 列理路柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。有界，因而在 ${\mathbb{R}}^d$ 中有收敛子列 $x_{n_k}\to x$。给定 $\epsilon >0$，先让所有足够靠后的项彼此相距小于 $\epsilon /2$，再取其中一个子列项与 $x$ 相距小于 $\epsilon /2$。三角不等式便使整个尾部落入 $x$ 的 $\epsilon$ 邻域，证明整列收敛。