形式陈述

Bolzano–Weierstrass 定理称：$\mathbb R^d$${\mathbb{R}}^d$ 中每个有界序列 $(x_n)$$(x_n)$ 都存在收敛子列。等价地，$\mathbb R^d$${\mathbb{R}}^d$ 中每个无限有界集合都有聚点。对 $d=1$$d=1$，可用区间二分嵌套选取子列；有限维情形可逐坐标抽取，或由闭有界集的紧致性推出。

直觉

有界性把所有项困在有限区域内；无限多项不可能永远彼此保持固定距离，因此总能抽出越来越靠近某点的一条子序列。

例子与边界

序列 $(-1)^n$$(-1{)}^n$ 不收敛，但偶数项和奇数项分别给出收敛子列。序列 $e_n$$e_n$ 在无限维 Hilbert 空间 $\ell^2$${\ell }^2$ 中有界，却任意两项距离为 $\sqrt2$$\sqrt{2}$，没有范数收敛子列，说明有限维不可省略。无界序列也可能含收敛子列，例如 $0,1,0,2,0,3,\ldots$$0,1,0,2,0,3,\dots$；故有界是充分条件而非必要条件。定理保证存在子列，不保证原序列收敛或极限唯一。

推论与应用

该定理是实分析中紧致性的核心形式，用于证明连续函数取极值、Cauchy 子列判据、极限点存在及有限维优化解的提取。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，§2.5, subsequences and the Bolzano–Weierstrass theorem。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 2, compactness and convergent subsequences in Euclidean space。