极值定理

证明中的两种潜在失败分别是“候选点逃出空间”和“逼近极值却漏掉极限点”。紧致性同时封堵这两条逃逸路线，连续性再把收敛点的函数值与极限值接上。定理因此是存在性结论，不依赖可微性，也不要求极值点位于边界或内部。

$f(x)=x(1-x)$ 在 $[0,1]$ 上取得最大值 $1/4$。若去掉紧致性，结论可失败：$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上既不取得最大值也不取得最小值；$f(x)=x$ 在 $\mathbb{R}$ 上无界。非空条件用于确保极值点存在。

在单位圆盘上，$f(x,y)=x^2+2y$ 连续，故必取极值；直接计算可得最大值在 $(0,1)$ 为 $2$，最小值在 $(0,-1)$ 为 $-2$。若把圆盘换成开圆盘，最大值与最小值只可逼近而不取得。若目标函数不连续，即使定义域紧，也可令某点附近函数值趋近更大数而在该点突然下降，从而失去最大值。

定理把紧空间公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。与连续性公理库连续性Continuity · Continuous function函数在输入微小变化时输出可被控制为任意小变化的性质。组合成可达到的最优值，并把上确界与下确界公理库上确界与下确界Supremum and infimum在偏序中分别作为集合最小上界与最大下界的最紧边界元素。升级为真正的最大、最小元。凸优化还会研究极值是否唯一以及如何计算；在一般分析中，它则支撑最近点、最佳逼近和参数估计的存在性。多项式插值公理库多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。的余项界常在闭区间上取高阶导数的最大值，自适应求积公理库自适应求积Adaptive quadrature · Adaptive integration用同一区间上的高低阶规则差估计局部误差，并把函数求值集中到尚未满足容差的区域。则比较各紧子区间上的局部误差指示量；极值定理只保证相关连续量取到界，不提供节点或细分策略。

紧区间上的连续函数还必然一致连续，因为若局部控制尺度不断缩小，紧致性会迫使一列坏点积聚并与连续性矛盾。这个推论与极值定理共享同一原则：紧致把逐点的局部信息提升为全局控制。