形式陈述

设 $K$$K$ 为非空紧拓扑空间，$f:K\to\mathbb R$$f:K\to \mathbb{R}$ 连续。则存在 $x_{\min},x_{\max}\in K$$x_{min},x_{max}\in K$ 使

$$ f(x_{\min})\le f(x)\le f(x_{\max}) \qquad(\forall x\in K). $$$$f(x_{min})\le f(x)\le f(x_{max})(\mathrm{\forall }x\in K).$$

证明可由连续像 $f(K)$$f(K)$ 紧，而 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中紧集闭且有界：有界给出上确界、下确界，闭性保证它们属于像。

直觉

连续函数不会在紧空间里“逃向无限远”或只无限逼近却不达到边界。紧致把所有局部变化控制成全局可达到的极值。

例子与边界

$f(x)=x(1-x)$$f(x)=x(1-x)$ 在 $[0,1]$$[0,1]$ 上取得最大值 $1/4$$1/4$。若去掉紧致性，结论可失败：$f(x)=x$$f(x)=x$ 在 $(0,1)$$(0,1)$ 上既不取得最大值也不取得最小值；$f(x)=x$$f(x)=x$ 在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 上无界。非空条件用于确保极值点存在。

推论与应用

极值定理是优化存在性、距离最小化和一致连续性的基础。它保证极值存在但不说明位置唯一，也不提供求解算法；凸性、可微性等额外结构负责后续刻画。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 4。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 4。