极值定理

紧致性给候选极值提供落点，连续性让逼近过程与函数值相容。在闭区间上，可以先找到函数值越来越接近上确界的一列点，抽出收敛子列，再由连续性把上确界落实为极限点处的函数值。定理因此适用于有拐角、不可微的连续函数，例如 $|x|$ 在 $[-1,1]$ 上也取得最大值和最小值。

$f(x)=x(1-x)$ 在 $[0,1]$ 上取得最大值 $1/4$。若去掉紧致性，结论可失败：$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上既不取得最大值也不取得最小值；$f(x)=x$ 在 $\mathbb{R}$ 上无界。非空条件用于确保极值点存在。

在单位圆盘上，$f(x,y)=x^2+2y$ 连续，故必取极值；由 $x^2\le 1-y^2$ 得

而 $x^2+2y\ge 2y\ge -2$。因此最大值 $2$ 在 $(0,1)$ 取得，最小值 $-2$ 在 $(0,-1)$ 取得。若把圆盘换成开圆盘，两个极值点都被删去，上下界只可逼近而不取得。

连续性让极限点处的值接上逼近过程。例如在 $[0,1]$ 上令 $g(x)=x$（$x<1$）、$g(1)=0$。它有上确界 $1$，却没有最大值，因为任意 $x<1$ 都还能选更大的 $x^{\prime }<1$。在这里，候选极值点 $1$ 留在定义域内，但函数值在该点向下跳到了零。

定理把上确界与下确界理路上确界与下确界Supremum and infimum在偏序中分别作为集合最小上界与最大下界的最紧边界元素。落实为可达到的值。比如给定点 $y$，距离函数 $x\mapsto \Vert x-y\Vert$ 在非空紧集上连续，便能找到离 $y$ 最近的点。最佳逼近和参数估计也可采用这条路线：先把候选范围限制在紧集内，再检查目标函数的连续性。

多项式插值理路多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。的余项界常用闭区间上高阶导数的最大值。只要该导数连续，极值定理就保证这个最大值存在。自适应求积理路自适应求积Adaptive quadrature · Adaptive integration用同一区间上的高低阶规则差估计局部误差，并把函数求值集中到尚未满足容差的区域。进一步利用局部误差估计选择细分区间，把误差控制转成具体计算策略。

紧区间上的连续函数还一致连续。若相反，存在两列距离趋零的点 $x_n,y_n$，但函数值始终相差至少某个 ${\epsilon }_0>0$。从 $x_n$ 抽出收敛子列后，相应的 $y_n$ 也趋向同一点；连续性使两列函数值之差趋零，产生矛盾。这个证明与极值定理一样，用紧性把局部连续性转成全局控制。