上确界与下确界

判断 $u$ 是上确界要做两次检查：先证每个 $a\in A$ 都满足 $a\le u$，再任取其他上界 $v$，证明 $u\le v$。第二步要求它位于所有上界之下，而不只是“没有严格更小的上界”；在一般偏序中，后者仅说明极小上界，仍可能有不可比的其他上界。在实数全序中，“任何严格更小的数都不再是上界”才与第二步等价。

上确界允许边界不属于集合，所以既能表达序结构中的最小共同上界，也能记录开放集合和极限过程的最佳可达值。最大元是集合内部对象，上确界则属于环境有序集；混淆二者会把“可任意逼近”误写成“已经达到”。

在幂集偏序 $(\mathcal{P}(S),\subseteq )$ 中，一族子集的上确界是它们的并，下确界是它们在固定环境 $S$ 中的交。空族的并为 $\varnothing$，空族的交则为 $S$：此时每个 $S$ 的子集都是下界，而最大的下界是 $S$ 本身。这里的元素是集合，而且不必两两可比。这个例子说明全序不是定义所需条件。

在实数中，$A=(0,1)$ 满足 $supA=1$、$infA=0$，却没有最大元或最小元。$\mathbb{Q}$ 中的集合 $\{q:q^2<2\}$ 没有有理上确界，则说明有序域本身不保证完备性。

空集在通常顺序的 $\mathbb{R}$ 中没有上确界：每个实数都是它的上界，而任一上界 $u$ 之下仍有上界 $u-1$，所以没有最小实数上界。在扩展实数约定下可令 $sup\varnothing =-\mathrm{\infty }$。一般偏序中还可能只有多个极小上界而没有最小上界；“极小”与“最小”、“极大”与“最大”都不能互换。

集合 $A=\{1-1/n:n\ge 1\}$ 的上确界为 $1$，且对任意 $\epsilon >0$，取 $n>1/\epsilon$ 就得到大于 $1-\epsilon$ 的元素，但 $1\notin A$。若 $B=\{0,1\}$，则 $supB=1$ 同时也是最大元。前者可以任意逼近边界，后者直接包含边界。

偏序足以定义上下确界，却不保证它们存在。实数完备性理路实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。保证非空有上界的实数集合确有上确界；完备格理路完备格Complete lattice · Complete ordered lattice任意子集都具有上确界和下确界，从而包含顶元、底元并支持任意族合流的格。则对更广的子集族作存在性承诺。分析中的“最佳常数”和优化最优值常先以确界或下确界定义，是否由某个对象达到仍需紧致性、下半连续性等额外条件。

序列的 $lim sup$ 由尾部集合的上确界形成，外测度和优化值常由下确界构造。对函数族逐点取上确界时，所得函数可能失去连续性：例如 $f_n(x)=min(1,nx)$ 在 $[0,1]$ 上连续，其上确界却在 $0$ 取零、其他点取一。任意不可数族的可测函数取上确界还可能失去可测性；序运算不自动保留环境中的分析结构。

统计检验的 size、学习理论的一致偏差和minimax 风险理路极小极大风险Minimax risk在模型族最坏参数上评价算法风险，再在所有允许算法中寻找最优值。都会对参数或规则取 $sup$、$inf$。最优值和最优解集应当分开：${\mathrm{argmin}}_{x\in A}f(x)=\{x\in A:f(x)=\underset{A}{inf}f\}$ 可以是空集。例如在 $A=(0,1)$ 上最小化 $f(x)=x$，下确界为零，argmin 却为空。定义这个集合不承诺最优解存在；写 $x^{\ast }\in {\mathrm{argmin}}_{A}f$ 或实际输出最优元时，才需要证明非空。参见优化问题理路优化问题Optimization problem在可行解集合上最小化或最大化目标函数的计算问题。中的存在性条件。