Scott 连续映射

Scott 连续性表达“有限可观察结果不能只在无限极限处突然出现”。输入近似不断增加时，函数输出也只能增加；把全部相容输入信息合并后再计算，与先计算每个有限阶段再合并输出，结果一致。

单调性只禁止撤回旧信息，仍允许函数在极限处凭空加入新信息。保持有向上确界排除了这种跳跃，因此是递归语义中比单调更强的条件。

在幂集 DCPO 上，固定关系 $R\subseteq X\times Y$ 的直接像映射

保持任意并，因而 Scott 连续。含有限多个前提的规则系统，一步后果算子也保存有向并：若某个结论的有限组前提已在并集中，有向性保证某一共同阶段已经同时包含它们。但它未必保存任意并；例如规则 $a\wedge b\Rightarrow c$ 在 $\{a\}$ 和 $\{b\}$ 各自都不能推出 $c$，在二者的并上却能。

考虑链 $\mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ 及通常次序，定义 $f(n)=0$（有限 $n$）而 $f(\mathrm{\infty })=1$。它单调，却不保持有向集 $\mathbb{N}$ 的上确界：

因此单调不推出 Scott 连续。

Scott 连续与实分析中的 $\epsilon$-$\delta$ 连续不是同一概念。给 DCPO 配备 Scott 拓扑后，以上定义可与拓扑连续性对应；若没有指定该拓扑，只因两者都叫“连续”就不能交换定理。

Scott 连续映射对函数复合封闭，恒等映射也 Scott 连续，因此可组合地解释程序构造。pointed DCPO 上的 Scott 连续自映射由Kleene 不动点定理理路Kleene 不动点定理Kleene fixed-point theorem · Kleene fixed point theorempointed DCPO 上 Scott 连续自映射的最小不动点由底元的有限迭代上确界给出。得到

这使递归程序的整体含义由所有有限展开汇合而成。

在高阶语言中，适当函数空间按逐点次序构成域；只保留连续函数可确保应用与抽象仍兼容极限。实际语义模型还需证明函数空间确实具有所需完备性，不能仅凭“逐点定义”自动得到全部域论性质。