单调有界序列收敛定理

递增序列沿数轴向右移动，一个上界限制了它能到达的位置。实数完备性理路实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。保证所有项有一个最小上界 $s$；这个边界就是序列的极限，因此可以先证明收敛，再计算极限值。

证明只需看任意精度 $\epsilon >0$。由于 $s-\epsilon$ 不是上界，某一项满足 $a_N>s-\epsilon$。此后的项由单调性留在 $(s-\epsilon ,s]$ 中，于是 $a_n\to s$。上确界提供候选极限，单调性把一次接近变成此后一直接近。

作为完备性的另一种刻画 ​

等价关系需要放在共同的背景中：固定任意 Archimedean 有序域 $F$，序与域运算相容，自然数在 $F$ 中无上界；序列收敛按每个正 $\epsilon \in F$ 的绝对值条件理解。“每个递增有上界的 $F$ 值序列都在 $F$ 内收敛”与 $F$ 的最小上界性质理路实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。等价。上面的上确界证明给出一个方向，递减版本通过取负号得到。

反向取非空有上界的 $S\subseteq F$。若 $S$ 有最大元，就已得到上确界；否则选一个不是上界的 $a_0\in S$ 和一个上界 $b_0$。逐次二分 $[a_n,b_n]$，中点是上界时替换右端，不是上界时替换左端。左端单调递增且有界，故趋于 $s\in F$；两端距离 $(b_0-a_0)2^{-n}\to 0$，所以右端也趋于 $s$。右端始终为上界，故 $s$ 为上界；任意 $u<s$ 都小于某个左端，而左端不是上界，因此有 $S$ 中的元素大于 $u$。于是 $s$ 是最小上界。Archimedean 条件正用于保证二分宽度最终小于任意正尺度。

$a_n=1-1/n$ 递增且以 $1$ 为上界，所有项的上确界是 $1$，所以 $a_n\to 1$。

对递推序列，先证明收敛往往能简化极限计算。令 $a_1=\sqrt{2}$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$。若 $0<a_n<2$，则 $0<a_{n+1}<2$；同时 $(2-a_n)(a_n+1)>0$，即 $2+a_n>a_n^2$，故 $a_{n+1}>a_n$。归纳可得序列递增且有上界 $2$。定理给出极限 $L$，递推式的连续性再给出 $L=\sqrt{2+L}$；结合 $L>0$，得到 $L=2$。

有界性限制增长，单调性限制振荡。调和级数的部分和递增但无上界，趋向 $+\mathrm{\infty }$；$(-1{)}^n$ 有界，却一直在两个值之间往返。也有靠振荡幅度缩小而收敛的序列，例如 $(-1{)}^n/n\to 0$，它采用的是另一种收敛机制。

数系也参与结论。在 $\mathbb{Q}$ 中，$\sqrt{2}$ 的十进制截断组成单调有界序列，却没有有理数极限。若把值域扩展为 $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$，无界的递增序列也有极限 $+\mathrm{\infty }$，无界的递减序列则有极限 $-\mathrm{\infty }$；有限极限对应的正是定理中的有界条件。

非负项级数理路级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。的部分和递增，因此级数收敛当且仅当部分和有上界。若 $0\le a_n\le b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 的部分和被 $\sum b_n$ 控制，比较判别法由此得到。

平方根迭代也可用这个定理分析。对 $a>0$、$x_0>0$，令 $x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2$。算术—几何平均不等式给出 $x_{n+1}\ge \sqrt{a}$；从第一步起又有 $a/x_n\le x_n$，所以后续序列递减。它收敛到某个正数 $L$，由 $L=(L+a/L)/2$ 得 $L=\sqrt{a}$。

每个实数序列都有单调子列。有界时，这条子列由本定理收敛，从而得到 Bolzano–Weierstrass 定理理路Bolzano–Weierstrass 定理Bolzano–Weierstrass theorem实数空间中的每个有界序列都存在收敛子列。；再结合 Cauchy 条件，可证明实数中的每个 Cauchy 列理路柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。收敛。测度论的单调收敛定理理路单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。则研究非负可测函数逐点递增时，积分如何随极限变化：它把单调逼近的思想带到函数与积分中。