形式陈述

若实数序列 $(a_n)$$(a_n)$ 单调递增且有上界，则

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}. $$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=sup\{a_n:n\in \mathbb{N}\}.$$

单调递减且有下界时，极限等于相应下确界。因此，每个在正确方向有界的单调实数序列都收敛。逆命题不成立：一般收敛序列可以振荡而不单调。这里“单调”可取非严格；严格单调不是必要条件。

直觉

递增序列不断逼近其所有项的最小上界。若始终离上确界保持正距离，就还能找到更大的序列项，违背上确界的最小性。

例子与边界

$a_n=1-1/n$$a_n=1-1/n$ 递增且上有界，极限为 $1$$1$；部分和 $1+1/2+\cdots+1/n$$1+1/2+\cdots +1/n$ 递增但无上界，因此发散到 $+\infty$$+\mathrm{\infty }$，不在 $\mathbb R$$\mathbb{R}$ 中收敛。序列 $(-1)^n$$(-1{)}^n$ 有界却不单调；$n$$n$ 单调却无界，两者都说明两个条件缺一不可。在扩展实数中，单调序列总有扩展极限，但这不等于实数收敛。

推论与应用

单调收敛用于构造平方根、指数和积分，证明递推序列极限，并把实数完备性转化为可操作的序列工具。不要与测度论中的同名单调收敛定理混淆。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，§2.4, monotone sequences and the monotone convergence theorem。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 3, monotone sequences and completeness。