单调有界序列收敛定理

这条定理是实数完备性公理库实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property实数作为完备有序域没有有理数式的序与极限缺口。最直接的序列化身：它把"实数轴没有缺口"翻译成一条可以对具体序列反复使用的收敛判据。心智图像是一串沿数轴向右爬行的点，头顶有一道不可逾越的天花板；点列不会掉头，也不会穿过天花板，于是只能越挤越密，堆积到某个位置——这个位置恰好就是所有项的最小上界。证明的核心一步是：若序列各项始终与上确界 $s$ 保持某个正距离 $\epsilon$，那么 $s-\epsilon$ 就已经是上界，与 $s$ 的最小性矛盾；而一旦某项进入 $(s-\epsilon ,s]$，单调性保证之后所有项都留在里面。它的价值在于无需预先知道极限值就能断言极限存在，这与直接验证 $\epsilon$–$N$ 定义形成鲜明对比：后者要求你先猜出极限是谁。在 $\mathbb{Q}$ 中同样的论证会失败——单调有界的有理数序列（如 $\sqrt{2}$ 的十进制截断）可能没有有理极限——这正说明该定理与完备性等价的一面。

实数单调序列只向一个方向移动；若同时有界，它不可能越过所有上界或下界，极限便由上确界或下确界给出。这一结论本质上使用实数完备性。单调本身不够，若缺少相应界，序列可以趋向无穷。

正例一：$a_n=1-1/n$ 严格递增且以 $1$ 为上界，故收敛，极限即上确界 $1$。正例二（递推序列的典型用法）：令 $a_1=\sqrt{2}$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$。用归纳法可证 $a_n<2$（若 $a_n<2$ 则 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{4}=2$）且 $a_{n+1}>a_n$（因为 $a_n^2<a_n+2$ 在 $0<a_n<2$ 时成立），于是定理保证极限 $L$ 存在；再对递推式取极限得 $L=\sqrt{2+L}$，解出 $L=2$。注意这里的顺序：必须先用定理确认极限存在，才有资格在方程两边取极限。

两个假设缺一不可。调和级数的部分和 $1+1/2+\cdots +1/n$ 单调递增但无上界，发散到 $+\mathrm{\infty }$；序列 $(-1{)}^n$ 有界却不单调，在 $-1$ 与 $1$ 之间振荡而不收敛。逆命题也不成立：$(-1{)}^n/n$ 收敛到 $0$ 却不单调，可见单调性只是收敛的充分条件的一部分，绝非必要。

一个常见的口径问题：在扩展实数系 $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ 中，任何单调序列都有极限（可能是 $\pm \mathrm{\infty }$），因此有些教材说"单调序列总收敛"。本条目中"收敛"一律指极限为有限实数，无界的单调序列在此意义下发散。

$a_n=1-1/n$ 单调递增且上界为 $1$，极限为其上确界 $1$。$a_n=n$ 单调递增但无上界，在实数中不收敛。序列可非严格单调，最终常值也包含在内；“有界”只需递增序列有上界或递减序列有下界。

这条定理是把完备性公理转化为日常工具的第一站。它直接推出非负项级数公理库级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。的基本判别原理：非负级数收敛当且仅当部分和有上界，比较判别法、积分判别法都由此展开。它用于构造重要常数与函数：$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+1/n{)}^n$ 的存在性靠的就是该序列单调递增且有上界；Babylonian 迭代 $x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+a/x_n)$ 逼近 $\sqrt{a}$ 的收敛性同样如此。在理论链条上，它与区间套定理互相支撑，并且是证明 Bolzano–Weierstrass 定理公理库Bolzano–Weierstrass 定理Bolzano–Weierstrass theorem实数空间中的每个有界序列都存在收敛子列。的经典路径之一（任何序列都有单调子序列，有界时该子序列收敛）；进一步可推出 Cauchy 列公理库柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。在 $\mathbb{R}$ 中收敛。最后注意命名冲突：测度论中还有一条关于非负可测函数列积分的单调收敛定理公理库单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。，两者精神相通（单调逼近下极限运算可以交换），但对象完全不同，不要混淆。

上确界性质证明单调收敛，Bolzano–Weierstrass 定理也可给出另一证明路径。嵌套区间、迭代算法、级数部分和与测度论中的单调收敛定理都以此为原型。