中值定理

把 $f$ 看成位置随时间的变化，割线斜率是这段时间的平均速度，导数是瞬时速度。定理说，在上述连续、可导条件下，平均速度会在某个时刻真正出现。它不要求速度单调，也不指定那个时刻，更不保证只有一个。若以秒记录时间、以米记录位置，两种速度的单位都是米每秒；定理比较的是同一种量，而不是把位置值与速度值混在一起。

几何上，可以从曲线减去端点连线。令

新的曲线满足 $h(a)=h(b)=0$。找到它的一条水平切线，就等于在原曲线上找到一条与割线平行的切线。“减去直线”把平均变化率问题变成了等高端点问题。

水平切线为什么必然出现 ​

先看一个内部极大点 $c$。当 $u>0$ 足够小时，差商 $(f(c+u)-f(c))/u\le 0$；当 $u<0$ 足够小时，分子仍非正，差商却非负。若两侧极限合成同一个导数，这个数只能是 $0$。内部极小点同理。这是 Fermat 引理。

接着证明 Rolle 定理，也就是两端等高时必有内部零导数点的情形。由极值定理理路极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。，连续函数在闭区间上取到最大值和最小值。若函数恒定，任取内部点即可；若不恒定，而两端等高，至少一个严格高于或低于端点值的最值落在内部。Fermat 引理就在该点给出零导数。再应用到上面的 $h$，便得到中值定理。

两个函数的增量怎样在同一点比较 ​

若另一个实值函数 $g$ 也在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，则 Cauchy 中值定理给出某个共同的 $c$，满足

这是无需除法的基本形式。额外假设 $g^{\prime }$ 在内部处处非零时，Rolle 定理保证 $g(b)\ne g(a)$，才可写成

取 $g(x)=x$，便回到 Lagrange 版本。不能只因某个表达式像比值，就跳过分母非零的检查。

Cauchy 版本使用同一种构造：令

$H$ 两端均为零；在 Rolle 定理给出的点上令 $H^{\prime }(c)=0$，恰好得到交叉相乘的等式。

中值点可以算出，也可以不唯一 ​

对 $f(x)=x^2$ 在 $[0,2]$ 上应用定理，先核对多项式在闭区间连续、内部可导；再算端点平均变化率 $(4-0)/(2-0)=2$；最后解 $f^{\prime }(c)=2c=2$，得到 $c=1$，确实位于内部。这个例子只有一个中值点，是因为导数 $2x$ 严格递增，唯一性来自这个额外性质。

同一个函数在 $[1,4]$ 上给出平均变化率 $5$，对应 $c=5/2$。中值点随所选区间改变。因此把定理用于一族小区间时，通常只能知道存在某个 $c$，不能把它固定为原先算出的那个点。

$f(x)=x^3$ 在 $[-1,1]$ 上的割线斜率为 $1$，而 $3c^2=1$ 给出 $c=\pm 1/\sqrt{3}$。这两个不同的内部点都满足定理。恒等函数的每个内部点都符合条件，中值点也不必是区间中点。因此，把结论写成“存在唯一的 $c$”会改变命题。

两个假设分别排除了什么 ​

$|x|$ 在 $[-1,1]$ 连续，端点等高，但内部可导处的导数只取 $-1$ 或 $1$。唯一可能转向的位置 $0$ 恰好不可导，因而找不到零导数点。连续性保证图形不断开，却不消除尖角。

再令 $f(x)=x$ 对 $0\le x<1$ 成立，单独规定 $f(1)=0$。内部处处有 $f^{\prime }=1$，但端点割线斜率为 $0$。这里失败的是端点连续性：把终点突然挪走，平均增量就不再反映内部的变化。

向量值的平均变化不必在某一时刻出现 ​

曲线 $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$ 在 $[0,2\pi ]$ 绕圆一周，首尾相同；但 ${\gamma }^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t)$ 始终具有长度 $1$。因此不存在 $c$ 使 ${\gamma }^{\prime }(c)=0$。分别对坐标应用标量定理，得到的中值点也可能不同，不能强行合并。

有限维向量值函数仍有相应的不等式：若在闭区间连续、内部可导且 $\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert \le M$，则 $\Vert \gamma (b)-\gamma (a)\Vert \le M(b-a)$。欧氏范数下可沿总位移方向投影成标量函数，再应用中值定理；保留下来的是增量上界，不是同一个向量导数的精确等式。

在一个区间上任取 $x<y$，都有 $f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x)$。因此，$f^{\prime }\ge 0$ 推出单调不减，$f^{\prime }>0$ 推出严格递增，$f^{\prime }\equiv 0$ 推出常值。严格递增反过来不要求导数处处为正，$x^3$ 在 $0$ 的导数就是零。更一般地，若 $m\le f^{\prime }\le M$，则 $m(y-x)\le f(y)-f(x)\le M(y-x)$。这里“区间”负责让 $x,y$ 之间的所有点都在定义域内；在两个不相连的区间上，函数可以分别取不同常数，而导数仍处处为零。

把变化率变成可用的误差界 ​

若 $|f^{\prime }|\le M$，同一个等式给出 $|f(y)-f(x)|\le M|y-x|$。例如 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[1,4]$ 上满足 $|f^{\prime }(x)|\le 1/2$，因此输入的两个可能值 $x,y$ 只要都在这个区间内，就有 $|\sqrt{y}-\sqrt{x}|\le |y-x|/2$。若测量结果是 $2.25$、输入误差不超过 $0.02$，则真实输入落在 $[2.23,2.27]\subset [1,4]$，所以平方根与 $1.5$ 的差不超过 $0.01$。这里先检查整段可能输入仍在导数界有效的区间内，再使用上界。这是覆盖该区间的确定保证，不需要知道中值点在哪里。

当 $M<1$ 且映射保持适当完备空间时，这也是验证收缩映射理路Banach 不动点定理Banach fixed-point theorem · Contraction mapping theorem完备空间中的统一压缩给出唯一不动点；用几何尾和证明收敛，并把后验误差与残差转成停止证书。条件的一种办法。

若掌握导数的上下界，还可以双向夹住增量。下面 $\log$ 均表示自然对数；若 $0<a<b$，在某个 $c\in (a,b)$ 有

不必求出 $c$，只需夹住 $1/c$ 就得到增量界。特别地，对 $x>0$，有 $x/(1+x)<\log (1+x)<x$。在 $[1,e]$ 这个可显式求解的例子中，中值点为 $e-1$。

Cauchy 中值定理把两个增量的比较转成同一点上两个导数的比较，是 L'Hôpital 法则证明中的工具；通过构造具有多个零点的辅助函数，Rolle 的同一机制还进入 Taylor 余项理路泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。与插值误差理路多项式插值余项Interpolation remainder · Polynomial interpolation error在足够光滑条件下以高阶导数和节点乘积表示插值函数误差，并明确该表达式的适用边界。。使用这些结果时仍须保留各自的可导阶数和区间条件，不能只沿用一个“局部控制整体”的口号。