形式陈述

设 $f:[a,b]\to\mathbb R$$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 在闭区间上连续、在开区间 $(a,b)$$(a,b)$ 上可导，且 $a<b$$a<b$。则存在 $c\in(a,b)$$c\in (a,b)$ 使

$$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

证明对

$$ g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) $$$$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

应用 Rolle 定理：$g(a)=g(b)$$g(a)=g(b)$，故某点 $g'(c)=0$$g^{\prime }(c)=0$。

直觉

从端点看见的平均斜率，会在某个内部点成为瞬时斜率。它把局部导数信息与整个区间的函数变化连接起来。

例子与边界

对 $f(x)=x^2$$f(x)=x^2$ 在 $[0,2]$$[0,2]$ 上，割线斜率为 $2$$2$，而 $f'(1)=2$$f^{\prime }(1)=2$。若函数在端点间不连续，或内部某点不可导，结论可能失败；$|x|$$|x|$ 在 $[-1,1]$$[-1,1]$ 的割线斜率为 $0$$0$，但除不可导点外导数只有 $\pm1$$\pm 1$。

推论与应用

由中值定理可得：导数恒零则函数在区间上为常数；导数有界 $|f'|\le M$$|f^{\prime }|\le M$ 则 $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$$|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$；导数符号控制单调性。它还产生误差估计和 Taylor 定理的余项形式。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 5。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 5。