Banach 不动点定理

压缩控制的是任意两条轨道之间的距离。特别地，把同一条轨道错开一步比较，相邻位移也每次缩为至多原来的 $q$ 倍。于是即使过程走无限多步，后面所有步长的总和仍能被一个越来越小的几何级数控制。

完备性负责让这条越来越稳定的轨道有一个空间内的落点；自映射条件负责让迭代始终留在这个空间中。

证明：从一步估计控制整条尾部 ​

由压缩性反复得到

对任意 $m>n$，利用三角不等式，把长距离拆成相邻位移：

右边随 $n\to \mathrm{\infty }$ 趋于零，而且不依赖后面选了多大的 $m$，所以轨道是 Cauchy 列理路柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。。完备性给出 $x_n\to x^{\ast }\in X$。压缩映射必连续，因此

若另有不动点 $y^{\ast }$，则 $d(x^{\ast },y^{\ast })\le qd(x^{\ast },y^{\ast })$；因 $q<1$，只能有 $d(x^{\ast },y^{\ast })=0$。唯一性由此得到。最后令尾部距离估计中的 $m\to \mathrm{\infty }$，就得到先验误差界。

后验界把当前步长之后的位移相加：第一段未来位移至多是当前步长的 $q$ 倍，随后再依次乘 $q$。几何尾和因此给出到极限的距离上界，即 $q/(1-q)$ 倍当前步长。

求平方根：同一个迭代可以有两层速度保证 ​

在 $X=[1,2]$ 上取

它把 $[1,2]$ 映入 $[\sqrt{2},3/2]\subseteq [1,2]$，并满足 $|T^{\prime }(x)|=|1/2-1/x^2|\le 1/2$。由中值定理理路中值定理Mean value theorem由等高端点与内部极值导出平均变化率，区分 Lagrange、Rolle、Cauchy 版本并给出可计算的增量界。，它是 $q=1/2$ 的压缩。因此从 $x_0=1$ 开始，

必收敛到唯一正不动点 $\sqrt{2}$。定理给出全区间的几何保证；这个具体公式还满足

说明误差在靠近根时近似平方衰减。这个恒等式给出了平方根迭代的二次收敛；Banach 定理的几何界则适用于整个指定区间。

条件如何影响迭代 ​

在 $X=(0,1]$ 上，$T(x)=x/2$ 确实按 $q=1/2$ 压缩，而且始终留在 $X$；但轨道趋向空间外的 $0$，所以在 $X$ 中没有不动点。补入 $0$ 后，$[0,1]$ 成为完备空间，迭代也就收敛到其中的不动点。

在完备空间 $[1,\mathrm{\infty })$ 上，$T(x)=x+1/x$ 满足：对不同的 $x,y$，

每一对不同点的距离都严格缩短，比例却能任意接近 $1$，不存在统一的 $q<1$。同时 $T(x)>x$ 处处成立，所以没有不动点。“每对点都缩短一点”比“一致压缩”弱。

实数上的平移 $T(x)=x+1$ 保持距离，对应 $q=1$，但轨道持续向右移动。自映射条件则决定估计能否反复使用：$T(x)=x/2$ 在 $[1,2]$ 上的导数只有 $1/2$，从 $1$ 出发的下一项 $1/2$ 却已离开区间。改选包含零的闭区间后，才能在同一个空间内应用定理。

非空紧度量空间还有一个更强的结论：只要 $d(Tx,Ty)<d(x,y)$ 对所有 $x\ne y$ 成立，就有唯一不动点，且每条迭代轨道收敛。这是 Edelstein 型定理，紧性为严格缩短距离提供了足够的整体控制；收敛速度则取决于具体映射。[2]

怎样把定理变成停止准则 ​

若目标误差为 $\epsilon$，已知 $q<1$ 时，可在

时停止。对任意候选 $x\in X$，还有残差界

证明只需把 $d(x,x^{\ast })$ 拆成 $d(x,Tx)+d(Tx,T{x}^{\ast })$。因子 $1/(1-q)$ 衡量残差被放大的程度。例如 $q=0.99$ 时，残差乘以 $100$ 才是这里得到的距离上界。

固定 $0<q<1$ 且初始尺度固定时，达到精度 $\epsilon$ 所需步数为 $O(\log \left(1/\epsilon \right))$；若 $q$ 也随问题变化，就须保留 $1/|\log q|$ 的依赖，并另计一次 $T$ 求值的成本。具体映射选择与实现由不动点迭代理路不动点迭代Fixed-point iteration · Picard iteration把方程改写为不动点问题后反复应用同一映射，并用压缩性控制收敛、误差与停机。条目展开。

同一机制如何进入其他问题 ​

在 Picard–Lindelöf 定理理路Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。中，积分算子把函数 $u$ 映到 $u_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,u(s))ds$。若 $f$ 对状态的 Lipschitz 常数为 $L$，时间长度为 $h$，上确界范数中的压缩因子便可控制为 $Lh$；选取足够小的区间并验证自映射，即可使用本定理。反函数、隐函数的常见证明也会构造辅助压缩映射。

带折扣的 Bellman 算子在适当的有界函数空间中以折扣因子为压缩常数，因此值迭代沿同一条证明路线收敛。Kleene 不动点定理理路Kleene 不动点定理Kleene fixed-point theorem · Kleene fixed point theorempointed DCPO 上 Scott 连续自映射的最小不动点由底元的有限迭代上确界给出。则在偏序结构中，从底元出发迭代 Scott 连续映射，以迭代链的上确界构造最小不动点。前者通过距离控制唯一性和误差，后者通过次序刻画解的最小性。

Knaster–Tarski 定理理路Knaster–Tarski 不动点定理Knaster-Tarski fixed-point theorem · Tarski fixed-point theorem完备格上的单调自映射之全部不动点构成完备格，并具有规范的最小与最大不动点。则在完备格上只要求单调自映射，保证最小、最大不动点及全部不动点的完备格结构，但允许多个不动点，也不提供这里的几何收敛率。度量压缩与序单调使用不同的完备性和控制条件。

Brouwer 不动点定理理路Brouwer 不动点定理Brouwer fixed-point theorem闭球到自身的任意连续映射都有不动点。在有限维实欧氏空间的非空紧凸集上，只要求连续自映射便保证存在不动点；它不要求统一压缩，也不保证唯一性或直接迭代收敛。例如 $T(x)=1-x$ 把 $[0,1]$ 连续映到自身，唯一不动点是 $1/2$，但从其他点开始会在 $x$ 与 $1-x$ 之间来回。Banach 的压缩条件则同时控制唯一性、迭代轨道和误差界。