形式陈述

若 $(X,d)$ 完备，映射 $T:X\to X$ 满足

$$d(Tx,Ty)\le qd(x,y)(0\le q<1),$$

则存在唯一 $x^{\ast }$ 使 $T(x^{\ast })=x^{\ast }$。任取 $x_0$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^{\ast }$，并有

$$d(x_n,x^{\ast })\le \frac{q^n}{1-q}d(x_1,x_0).$$

直觉

压缩把任意两点之间的距离固定缩小；反复作用迫使所有轨道聚到同一个位置。

例子与边界

在不完备空间中，不动点可能落在缺失边界上。仅有连续性或非扩张条件 $q=1$ 不能保证唯一性，也不能保证简单迭代收敛。

推论与应用

它同时给出存在性、唯一性、构造算法和误差界，并支撑 Picard–Lindelöf 定理与多种数值迭代。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed. (2015), contraction mapping theorem.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), complete metric spaces.