不动点迭代

不动点迭代不是“把等号右边反复按计算器”这么简单。映射 $g$ 会在每一步重新塑造误差：若它把不动点附近的距离压短，轨道像被逐步拉向固定位置；若它把距离放大或把点送出定义域，形式上完全正确的重排也会成为失败算法。压缩常数 $q$ 描述最坏方向上的拉伸，$q$ 越接近 $1$，每一步看起来越安静，抵达目标却越慢。

这也解释了表示方式为何属于算法而不只是代数。方程 $f(x)=0$ 规定要找哪个对象，重排 $x=g(x)$ 则决定如何走向它。两个 $g$ 可以拥有同一个不动点，却分别产生快速收敛、缓慢收敛、周期振荡或定义域逃逸。

方程 $x=\cos x$ 在 $[0,1]$ 上给出一个干净的全局例子。映射 $g(x)=\cos x$ 把该区间送回自身，且 $|g^{\prime }(x)|=|\sin x|\le \sin 1<1$。从 $x_0=1$ 出发，轨道

在不动点两侧交替靠近，最终收敛到 $0.739085\dots$。振荡本身不表示发散；真正起作用的是误差幅度受到统一压缩。

同一方程 $x^2=2$ 展示了重排的决定性。取

从 $x_0=1$ 得到 $3/2,17/12,577/408,\dots$，并快速趋于 $\sqrt{2}$；在根处 $g_1^{\prime }(\sqrt{2})=0$，这正是速度高于线性的原因。若改成同样等价的 $g_2(x)=2/x$，则 $g_2(g_2(x))=x$，任意非根初值都会在两点间来回跳动，因为 $g_2^{\prime }(\sqrt{2})=-1$ 正落在局部收敛条件的边界上。

仅凭更新量很小也可能过早停机。对 $g(x)=qx+(1-q)x_{\ast }$，有 $|x_{k+1}-x_k|=(1-q)|x_k-x_{\ast }|$；当 $q$ 极接近 $1$ 时，步长可以很小，而真误差仍大。未知 $q$ 时，相邻差只能作为诊断信号，不能替代残差、问题尺度或后验误差界。

Anderson加速理路Anderson 加速Anderson acceleration · Anderson mixing · 安德森加速用有限历史残差的仿射最小二乘产生候选，再在已知收缩模型上以真实残差保护和Picard回退保留可验证误差界。用多个旧残差的仿射最小二乘产生候选。负权重可能越出原域，旧残差抵消也不保证新残差变小；在已知收缩常数时，先查域、再查真实残差并允许回退到本页Picard步，才能保留一份完整误差证书。

Banach 定理负责回答“在什么统一条件下存在唯一不动点并从任意初值收敛”，本页则负责选择迭代映射、估算实际成本和设计停止条件。两者不应重复：定理页保留抽象证明与误差界，算法页展示不同重排为何改变数值行为。

Picard 迭代把常微分方程改写为函数空间中的积分不动点问题，主要用于证明局部存在唯一性；它并不等于把时间区间离散成步长的 ODE 时间步进算法。在线性方程、积分方程和带折扣动态规划中也会出现同样框架，但每个应用都必须重新说明所用空间、范数、自映射区域和收缩常数。

Sinkhorn 矩阵缩放理路Sinkhorn 矩阵缩放算法Sinkhorn algorithm · Iterative proportional fitting for transport交替修正正矩阵的行列边缘，用残差检验可行性，并在小正则参数下改用对数域。提供一个具有明确约束含义的交替迭代：先修正行边缘，再修正列边缘，严格正核下收敛到唯一缩放计划。每次只保证刚修正的一侧精确满足，因此停止时应检查两侧残差，而不只观察系数变化。