非线性方程求根问题

求根先是一项关于对象的任务，算法随后才决定怎样搜索。存在性回答“有没有交点”，隔离回答“这段区域内有几个”，条件性回答“曲线稍微移动后交点会走多远”。二分、Newton 和割线法理路割线法Secant method用最近两点的割线斜率近似导数，在无导数的一维求根中取得局部超线性收敛。分别利用不同信息，不能用某个方法的更新公式代替这些问题规格。

曲线陡直穿过横轴时，小的竖直扰动通常只让交点水平移动一点；曲线贴着横轴相切时，同样的竖直扰动可能让根分裂、消失或移动很远。导数是否远离零因而既影响局部敏感性，也会影响许多迭代法的收敛行为。

令

在 $[0,1]$ 上有 $f(0)=1>0$、$f(1)=\cos 1-1<0$，由介值定理理路介值定理Intermediate value theorem连续函数在实区间上不能跳过中间高度；由完备性证明存在性，并厘清二分法、唯一性和不动点迭代。至少存在一根。又因

在该区间成立，函数严格递减，所以根唯一；其数值约为 $0.7390851332$。存在性来自连续与异号，唯一性来自单调性，这两个论证不能合并成“二分找到了唯一根”。

函数 $(x-1{)}^2$ 在 $x=1$ 有二重根，根两侧函数值同号，符号变化法无法发现它。扰动为

时，$\epsilon >0$ 产生两个根 $1\pm \sqrt{\epsilon }$；若改成加上正的 $\epsilon$，实根则消失。根的位移按 $\sqrt{\epsilon }$ 而不是 $\epsilon$ 缩放，显示重根附近的病态性。

小残差也不能脱离尺度解释。对 $f(x)=\alpha (x-1)$，近似值 $\hat{r}=0$ 的根误差恒为 $1$，残差却是 $-\alpha$，可通过缩小 $\alpha$ 变得任意小。只有结合导数下界、逆 Jacobian 范数或其他条件性信息，残差才能转换成根误差界。

多项式求根只是求根问题的一类。寻找一个已括住的实根可以依靠实区间与符号；寻找多项式的全部复根则要处理复共轭结构、聚集根和系数扰动，不能把同一括区间算法机械推广过去。连续函数还可能有一整段零点，此时“输出一个根”和“描述解集”也完全不同。

两种复根证书把这个区别落实为交付物：完整边界计数理路整条复边界的绕数证书Certified complex winding · Validated polygon winding · 复零点围道计数证书以避零凸圆盘覆盖真实像路径，认证采样折线的整数绕数；给出精确射线交叉规则、完整边分割复核、有限停止条件与预算未决出口。提交全部源边小段与准确绕数，系数族根簇理路Pellet 圆盘计数与根簇证书Pellet root cluster certificate · Pellet Tk test · Coefficient-family root clustering通过平移系数的单项优势认证圆盘根总重数，传递系数误差预算，并以不相交圆盘和次数闭合交付全部复根簇而非伪称不同根隔离。提交局部优势、系数误差余量、不相交性和次数闭合。它们可以认证总重数与覆盖；若边界碰根或误差使单根身份不可识别，仍应明确返回未决或根簇。

求根页沿用数值问题与数值算法理路数值问题与数值算法Numerical problem and algorithm区分数学问题、有限数据、求解算法与实际执行，并据此追踪误差和计算成本。的接口区分：问题指定 f、搜索域和根的含义，算法只能通过函数值、导数或 Jacobian 等允许信息产生近似。停止状态和失败状态属于算法合同，不能被“存在一个根”的数学命题替代。

若方程可改写为 $x=g(x)$，不动点迭代理路不动点迭代Fixed-point iteration · Picard iteration把方程改写为不动点问题后反复应用同一映射，并用压缩性控制收敛、误差与停机。用 $x_{k+1}=g(x_k)$ 实现求根；在包含初值的完备区域内，压缩映射条件同时给出存在唯一性和线性收敛。不同的等价改写会产生完全不同的 $g$ 与收敛域，因此“代数上能改写成不动点”并不等于迭代可用。

二分求根法理路二分求根法Bisection method以端点异号区间为不变量，给出可验证误差界、对数成本和有限精度停止条件。只使用连续性和端点符号来维护全局括区间；Newton 法理路Newton 非线性方程法Newton's method · Newton-Raphson method · Newton method for nonlinear systems在当前点解一阶线性化方程来修正非线性方程的近似解，并分析其局部二次收敛与失效边界。利用导数或 Jacobian 获得局部速度；割线法用两次函数值近似斜率。混合方法通常保留括区间作为安全外壳，再在条件允许时采用更快的局部步。

残差与误差估计理路残差、误差估计与停止准则Residual and error estimation · Stopping criterion区分可计算残差与未知真误差，并说明把缺陷转成误差界和停止证书所需的条件。提供停止证书的共同语言，问题条件性理路问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。解释为何同样大小的残差在简单根和重根附近代表不同误差。任何求根结果都应同时报告搜索区域、残差定义、停止条件和失败状态，而不是只给若干小数位。