割线法

形式陈述 ​

给定标量函数 $f$、两个不同初值 $x_0,x_1$、尺度化容差和最大迭代数，割线法在 $f(x_k)\ne f(x_{k-1})$ 时计算

$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.$$

分式中的比值是用两点割线斜率代替 $f^{\prime }(x_k)$ 后得到的 Newton 步。初始化需要两次函数求值，此后若缓存旧值，每步只需一次新的 $f$ 求值、常数次标量运算和两个点的存储。算法输出近似根，或在分母过小、出现非有限值、越出定义域或超过迭代上限时报告失败。

若 $x_{\ast }$ 是简单根，$f$ 在其邻域二次连续可微，且两个初值都足够接近根，则局部误差满足

$$e_{k+1}\approx \frac{f^{″}(x_{\ast })}{2f^{\prime }(x_{\ast })}{e}_k{e}_{k-1}.$$

由此得到超线性收敛阶公理库迭代收敛阶Order of convergence · Q-convergence · R-convergence用相邻迭代误差的渐近幂律区分线性、超线性与二次收敛，并说明实验估阶的边界。

$$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618.$$

它低于 Newton 法的二次阶，却省去显式导数求值。这个结论是简单根附近的渐近性质，不保证远初值收敛，也不保证每一步都缩小残差或保持根括区间。

停止规则应同时检查尺度化残差与更新量，并对分母作相对尺度判断。若 $|f(x_k)-f(x_{k-1})|$ 与两个函数值的尺度相比过小，割线近乎水平，下一步可能被放大到毫无意义的位置；简单加一个与问题尺度无关的固定 epsilon 不能成为通用处理。

直觉 ​

Newton 法询问曲线在一个点的瞬时斜率，割线法则用最近两个观测点估计这条切线。迭代靠近光滑简单根后，两点也彼此靠近，割线斜率逐渐逼近真实导数，所以速度超过线性；但导数信息来自历史差分，改善得没有 Newton 的精确线性化快，于是出现黄金比例阶。

“使用两个异号点”并不是割线法的不变量。标准割线法每次丢掉最旧点，保留最近两次迭代，无论它们是否继续夹住根；假位法则保留异号括区间。两者画出的都是割线，却拥有不同的安全结构，不能只按公式外形混同。

例子与边界 ​

对 $f(x)=x^2-2$ 取 $x_0=1,x_1=2$。连续几步为

$$x_2=\frac{4}{3},x_3=\frac{7}{5},x_4=\frac{58}{41},\dots ,$$

并趋于 $\sqrt{2}$。与 Newton 法相比，它不需要计算 $2x$，但要记住两个点，且在局部渐近区的误差下降慢于平方规律。这个取舍只有连同函数与导数的实际求值成本一起比较才有意义。

分母失效可以在很普通的问题中出现。对 $f(x)=x^2-1$ 取 $x_0=-2,x_1=2$，两端函数值同为 $3$，第一条割线水平，更新公式立即除以零；函数明明有两个根，错误来自初值提供不了斜率信息。若两个函数值只是非常接近而非相等，步长仍可能巨大。

含噪函数也会破坏理论图景。当 $f(x_k)-f(x_{k-1})$ 已与测量或内层求解噪声同量级时，差商主要反映噪声，不能继续期待 $\phi$ 阶。此时需要重新取点、改用带括区间的安全方法，或提高函数求值精度，而不是把异常大步解释为正常的超线性阶段。

推论与应用 ​

割线法是一维求根公理库非线性方程求根问题Root-finding problem · Nonlinear equation solving定义标量与向量求根问题，并区分根的存在、隔离、重数、残差和局部敏感性。中“用历史函数值换导数”的最小方法。它适合导数难求而函数求值较可靠的局部问题；若必须保证不丢失已有的异号区间，则应选择保括区间的方法或混合策略，而不是给标准割线法补上并不存在的不变量。

高维拟 Newton 方法也用更新的近似线性模型避免每步重算完整 Jacobian，但其对象、矩阵更新和收敛条件远比一维割线复杂。本页只处理标量两点公式，不把两类方法因“无精确导数”这一表面相似性合并。

参考资料

• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.8 Nonlinear Equations.
• Richard L. Burden, J. Douglas Faires, and Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th ed., Cengage, 2016, secant and false-position methods.
• J. M. Ortega and W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, SIAM, 2000, local convergence analysis.