迭代收敛阶

收敛阶描述“已经靠近答案以后，旧误差如何变成新误差”。线性收敛大致每步乘一个固定比例；二次收敛大致每步把误差平方，所以足够接近根后正确位数会近似翻倍。这里的“足够接近”不可省略：算法起步时可能绕行、阻尼或暂时停留，只有尾部误差才受渐近关系支配。

阶数与单步成本共同决定实际速度。二次方法若每步需要昂贵的导数和线性求解，未必总比只做一次函数求值的低阶方法省时间；反过来，一个理论上超线性的方法也可能在进入渐近区前失败。收敛阶只回答局部误差缩减规律，不替代总工作量、稳定性和鲁棒性分析。

二分法理路二分求根法Bisection method以端点异号区间为不变量，给出可验证误差界、对数成本和有限精度停止条件。每步把含根区间的宽度减半，给出线性包络。对简单根，Newton 法理路Newton 非线性方程法Newton's method · Newton-Raphson method · Newton method for nonlinear systems在当前点解一阶线性化方程来修正非线性方程的近似解，并分析其局部二次收敛与失效边界。在标准光滑性和近初值条件下满足至少二次的误差上界；当 $f^{″}(x_{\ast })\ne 0$ 且误差最终非零时，才有正的渐近常数 $C$，因此 Q-阶恰为二。若该常数为零，实际阶可能更高。割线法理路割线法Secant method用最近两点的割线斜率近似导数，在无导数的一维求根中取得局部超线性收敛。在相应简单根假设和非零二阶导数条件下，局部误差近似满足 $e_{k+1}\approx C{e}_k{e}_{k-1}$；若假设 $e_{k+1}$ 与 $e_k^p$ 同阶，就得到 $p^2=p+1$，即黄金比例

有限步恰好到达真解时，后续 $e_k=0$，上述比值成为 $0/0$，不能硬说阶数为无穷。误差交替、偶尔抵消或在浮点精度平台上变成零，也会令实验估阶剧烈跳动。应先绘制误差或更新历史，确认存在稳定渐近区，再解释拟合出的斜率。

还要区分三种相似说法：迭代 Q-阶研究 $k\to \mathrm{\infty }$ 时的 $e_k$；离散化误差 $O(h^p)$ 研究步长 $h\to 0$；复杂度中的 $O(n^p)$ 研究问题规模增长。它们都出现幂次，却控制不同变量，不能因符号相似就互相替换。

序列收敛理路序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。只保证误差最终趋于零，本页进一步描述趋零速度。Newton、割线与不动点迭代可以共享这套语言，但每个算法仍要分别证明其光滑性、非退化和初值条件；一句“二次收敛”若没有这些条件，只是缺少适用范围的宣传语。

实验比较应同时报告所用范数、参考真值或高精度解、迭代区间和舍入平台。若只能观察残差，还必须说明残差如何控制真误差；否则从残差斜率推断解误差阶，可能把问题条件性带来的放大误认为算法性质。