数值问题与数值算法

“解 $Ax=b$”是一项数学任务，不是一段固定程序。Gaussian 消元把矩阵化为三角系统；共轭梯度法只在特定结构下沿低维子空间逼近；两者可以解同一个问题，却有不同的适用条件、成本和有限精度行为。把问题、算法、实现分层以后，条件数为何不能评价某段代码、收敛定理为何不能自动保证计算结果可信，都会变得清楚。

同一算法也可能有不同实现。例如一个代数恒等的表达式在实数中给出同一值，在浮点运算中却因运算顺序不同而产生不同舍入路径。分析要在给定数据、资源和精度目标下分清不可避免的误差与算法选择造成的误差，并说明最后能交付哪些可信数字。

设 $F(A,b)=A^{-1}b$，定义域只包含可逆矩阵。取

真解为 $(1,1{)}^{\mathsf{T}}$。若测量把第二个右端分量扰动为 $0$，则 $\Vert \mathrm{\Delta }b{\Vert }_2/\Vert b{\Vert }_2\approx {10}^{-8}$，即使精确求解扰动后的系统也只能得到 $(1,0{)}^{\mathsf{T}}$，相对解误差为 $1/\sqrt{2}$。这是问题条件性设置的精度上限；另一个不稳定实现还可能在这之上继续丢失数字。前者不能归咎于算法，后者也不能用“原问题病态”开脱。

连续积分也展示另一层差别。$F(f)={\int }_a^{b}f(x)dx$ 是数学问题；复合求积先用有限采样替代 $f$，产生离散化误差；自适应算法再用局部估计决定采样位置；浮点求和又产生舍入误差。只报告最终小数位，而不说明函数类、网格、误差度量和参考值，无法构成数值结论。

并非所有算法问题都适合强行套入连续条件数。比较排序在无 NaN 的离散全序上要求输出一个满足次序规格的排列，通常属于精确离散问题；它仍可能受错误比较器或浮点 NaN 语义影响，但这与连续映射的局部敏感性不是同一概念。

这套分层为后续页面提供共同坐标：条件性公理库问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。研究 $F$，数值稳定性公理库数值稳定性Numerical stability · Backward stability以允许的小输入扰动刻画算法的有限精度行为，并与问题条件性及其他稳定性概念分开。研究 $A$，误差度量公理库误差度量：绝对、相对与分量误差Error measures · Absolute and relative error用绝对、相对、范数型与逐分量尺度准确说明近似量偏离真值的程度。规定“接近”的尺度，前向与后向误差公理库前向误差与后向误差Forward and backward error分别衡量计算答案离真解多远，以及它能否视为邻近输入问题的精确解。连接计算结果和邻近问题，离散化误差公理库离散化误差与截断误差Discretization error · Truncation error区分连续问题的离散缺陷与离散解的全局误差，并说明一致性为何不能单独保证收敛。解释连续模型怎样变成有限模型，残差与误差估计公理库残差、误差估计与停止准则Residual and error estimation · Stopping criterion区分可计算残差与未知真误差，并说明把缺陷转成误差界和停止证书所需的条件。则回答运行到何时可以停。

因此，线性方程、常微分方程和积分的基础页面只需定义数学对象及其可解性；具体算法、误差界和实现边界应留在数值分析中。这样每个完整定义只出现一次，应用页仍能通过明确链接说明它为何需要该定义。